2014-山东卷理-02 单-集合交集

本题导读

本题考查集合的交集运算，重点在于准确求解含绝对值的不等式集 $A$ 和指数函数在闭区间上的值域集 $B$。

📌【题干】

Question

（2014年山东卷(理)） 设集合 $A=\{x\mid |x-1|<2\}$，$B=\{y\mid y=2^x,x\in [0,2]\}$，则 $A\cap B=$ ()

A. $[0,2]$　　　　B. $(1,3)$　　　　C. $[1,3)$　　　　D. $(1,4)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 化简集合 A：解绝对值不等式 $|x-1|<2$。去掉绝对值符号转化为连不等式，进而求出 $x$ 的取值范围。
2. 化简集合 B：根据指数函数 $y=2^x$ 的单调性，计算其在区间 $[0,2]$ 上的最大值和最小值，从而确定值域。
3. 求交集：在数轴上标出两个集合对应的区间，寻找它们的重叠部分。注意开闭区间的区分。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：化简集合 $A$ 由 $|x-1|<2$ 得： $-2<x-1<2$ 各部分同时加 $1$ 得： $-1<x<3$ 所以 $A=(-1,3)$。

第二步：化简集合 $B$ 由于函数 $y=2^x$ 在实数范围内是单调递增函数， 当 $x\in [0,2]$ 时：

• 当 $x=0$ 时，$y_{\min }=2^0=1$；
• 当 $x=2$ 时，$y_{\max }=2^2=4$。 所以 $B=[1,4]$。

第三步：计算 $A\cap B$ 利用数轴表示： 集合 $A$ 为 $(-1,3)$，集合 $B$ 为 $[1,4]$。 两者的公共部分为从 $1$（闭）到 $3$（开）。 即 $A\cap B=[1,3)$。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：集合交集的定义 $A\cap B=\{x\mid x\in A\text{ 且 }x\in B\}$。

2. 核心方法：数轴法。处理集合运算时，数轴是避免边界点（开闭区间）出错的最直观工具。

3. 避坑指南：注意集合 $B$ 的元素是 $y$（值域），而不是 $x$。部分同学可能误将 $x\in [0,2]$ 直接作为集合 $B$，导致错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 集合的并集 $A\cup B$、补集 ${\complement }_{U}A$。

2. 结论推广: 若集合中涉及指数、对数或分式，优先考虑函数的单调性来确定取值范围。

3. 方法推广: 绝对值不等式 $|x-a|<b$ 的几何意义是点 $x$ 到点 $a$ 的距离小于 $b$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算
• 03.04 绝对值不等式及排序不等式
• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2015-浙江卷文-01 单-集合交集
• 2015-天津卷文-01 单-集合交补
• 2014-陕西卷文-01 单-集合交集