2014-安徽卷文-15 填-导数新定义

本题导读

“切过” = 相切 + 曲线在切点附近位于直线两侧；逐条作差 $h(x)=f(x)-l(x)$ 检验 $h$ 在切点两侧是否变号。

📌【题干】

Question

（2014年安徽卷(文)） 若直线 $l$ 与曲线 $C$ 满足下列两个条件： （i）直线 $l$ 在点 $P(x_0,y_0)$ 处与曲线 $C$ 相切；（ii）曲线 $C$ 在点 $P$ 附近位于直线 $l$ 的两侧， 则称直线 $l$ 在点 $P$ 处”切过”曲线 $C$.下列命题正确的是 $\underline{}$（写出所有正确命题的编号） ① 直线 $l:y=0$ 在点 $P(0,0)$ 处”切过”曲线 $C:y=x^3$； ② 直线 $l:x=-1$ 在点 $P(-1,0)$ 处”切过”曲线 $C:y=(x+1{)}^2$； ③ 直线 $l:y=x$ 在点 $P(0,0)$ 处”切过”曲线 $C:y=\sin x$； ④ 直线 $l:y=x$ 在点 $P(0,0)$ 处”切过”曲线 $C:y=\tan x$； ⑤ 直线 $l:y=x-1$ 在点 $P(1,0)$ 处”切过”曲线 $C:y=\ln x$.

🔍【思路分析】

破题导航

每条先验证”是否相切”，再作差看两侧符号。

✅【答案】

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①③④

✍【详细解析】

Abstract

① $y=x^3$ 在 $0$ 处切线为 $y=0$，$x<0$ 时 $x^3<0$、$x>0$ 时 $x^3>0$，两侧 ✓。 ② $(x+1{)}^2$ 在 $-1$ 处切线是 $y=0$，$x=-1$ 不是切线，且曲线恒在其右侧 ✗。 ③ $h(x)=\sin x-x$，$h^{\prime }(x)=\cos x-1⩽0$，$h(0)=0$，故右侧 $h<0$、左侧 $h>0$，两侧 ✓。 ④ $h(x)=\tan x-x$，$h^{\prime }(x)={\tan }^{2}x⩾0$，$h(0)=0$，故右侧 $h>0$、左侧 $h<0$，两侧 ✓。 ⑤ $h(x)=\ln x-x+1$，$h^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-1$，$h$ 在 $x=1$ 处取最大值 $0$，除切点外 $h<0$，曲线只在一侧 ✗。 综上，正确命题为 ①③④。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数的几何意义与新定义

2. 核心方法：作差 + 判定切点两侧符号

3. 避坑指南：② 先查”给定的直线是不是切线”即可淘汰，不必讨论两侧；⑤ 是凸函数，切线只在一侧（“切而不过”）；判据是 $h$ 在切点是否变号，与 $h$ 是否取极值要区分开。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: “切过”的本质是拐点处的切线（变号切线），与极值点处的”切而不过”相对；三次函数的拐点切线、正弦与正切在原点的切线都变号。

2. 结论推广: 推广：$f$ 在 $x_0$ 处的切线”切过” $⟺$ $f-f(x_0)-f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$ 在 $x_0$ 两侧异号，对 $C^2$ 函数即 $f^{\prime }$ 在 $x_0$ 两侧异号（拐点）。

3. 方法推广: 新定义题流程：翻译定义 → 列出判据 → 逐条验证，先易后难。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-21 解-求曲线的切线
• 2014-北京卷理-18 解-导数单调性