2014-北京卷理-18 解-导数单调性

本题导读

本题考查导数在研究函数性质中的核心应用。第一问通过求导判断单调性进而证明不等式；第二问将双元不等式恒成立问题转化为函数最值问题，通过构造辅助函数并对参数进行分类讨论，求出参数的界限值。

📌【题干】

Question

（2014年北京卷(理)） 已知函数 $f(x)=x\cos x-\sin x$，$x\in [0,\frac{\pi }{2}]$.

(1) 求证：$f(x)\le 0$；

(2) 若 $a<\frac{\sin x}{x}<b$ 对 $x\in (0,\frac{\pi }{2})$ 上恒成立，求 $a$ 的最大值与 $b$ 的最小值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问分析：利用导数研究 $f(x)$ 的增减性。求出 $f^{\prime }(x)$，在区间内判定其正负，从而得出 $f(x)$ 的最大值。
2. 第二问分析：
   • 等价转化：题目要求 $a<\frac{\sin x}{x}<b$ 恒成立，即要求 $a\le {\left(\frac{\sin x}{x}\right)}_{\min }$ 且 $b\ge {\left(\frac{\sin x}{x}\right)}_{\max }$。
   • 构造函数：令 $h(x)=\frac{\sin x}{x}$，通过导数研究其在 $(0,\frac{\pi }{2})$ 上的单调性。$h^{\prime }(x)=\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}$。
   • 利用第一问结论：发现 $h^{\prime }(x)$ 的分子正是 $f(x)$，由第一问结论可得 $h(x)$ 的单调性。
   • 极限思想：通过区间端点的极限值或函数值确定 $a$ 和 $b$ 的范围。

✅【答案】

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故 $f(x)\le 0$ 得证。；故 $a$ 的最大值为 $\frac{2}{\pi }$，$b$ 的最小值为 $1$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明： 对 $f(x)=x\cos x-\sin x$ 求导： $f^{\prime }(x)=\cos x+x(-\sin x)-\cos x=-x\sin x$ 当 $x\in (0,\frac{\pi }{2})$ 时，$x>0,\sin x>0$，故 $f^{\prime }(x)<0$。 所以 $f(x)$ 在 $[0,\frac{\pi }{2}]$ 上单调递减。 因此 $f(x)\le f(0)=0\cdot \cos 0-\sin 0=0$。 故 $f(x)\le 0$ 得证。

(2) 解： 设 $h(x)=\frac{\sin x}{x}$，$x\in (0,\frac{\pi }{2})$。 对 $h(x)$ 求导得： $h^{\prime }(x)=\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}=\frac{f(x)}{x^2}$ 由(1)可知，当 $x\in (0,\frac{\pi }{2})$ 时，$f(x)<0$，且 $x^2>0$。 所以 $h^{\prime }(x)<0$，即 $h(x)$ 在 $(0,\frac{\pi }{2})$ 上单调递减。

根据单调性，可求端点处的值（或极限值）：

• 当 $x\to 0$ 时，${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$；
• 当 $x=\frac{\pi }{2}$ 时，$h(\frac{\pi }{2})=\frac{\sin (\pi /2)}{\pi /2}=\frac{2}{\pi }$。

由于 $h(x)$ 在 $(0,\frac{\pi }{2})$ 上严格单调递减，所以： $\frac{2}{\pi }<\frac{\sin x}{x}<1$ 要使 $a<\frac{\sin x}{x}<b$ 恒成立，必须满足 $a\le \frac{2}{\pi }$ 且 $b\ge 1$。 故 $a$ 的最大值为 $\frac{2}{\pi }$，$b$ 的最小值为 $1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数研究函数单调性与恒成立问题。

2. 核心方法：证 $f^{\prime }(x)=-x\sin x\le 0$ 得 $f(x)\le 0$；由 $h^{\prime }(x)=\frac{f(x)}{x^2}$ 定单调求界值。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 导数符号与 $\frac{\sin x}{x}$ 的单调性。

2. 结论推广: 在 $(0,\frac{\pi }{2})$ 上 $\frac{2}{\pi }<\frac{\sin x}{x}<1$。

3. 方法推广: 双参恒成立问题转化为函数最值与端点极限。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.03 专题-恒成立问题
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2023-新高考II卷-06 单-导数单调性
• 2013-新课标II卷理-21 解-导数单调性
• 2013-广东卷理-21 解-导数单调性