2014-安徽卷文-20 解-导数分类讨论

本题导读

$f^{\prime }(x)$ 的零点 $\alpha <0<\beta$；区间 $[0,1]$ 内只需比较 $\beta$ 与 $1$（分最大值），比较 $f(0)=1$ 与 $f(1)=a$（分最小值）。

📌【题干】

Question

（2014年安徽卷(文)） 设函数 $f(x)=1+(1+a)x-x^2-x^3$，其中 $a>0$.

(1) 讨论 $f(x)$ 在其定义域上的单调性；

(2) 当 $x\in [0,1]$ 时，求 $f(x)$ 取得最大值和最小值时的 $x$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

$f^{\prime }(x)=-3x^2-2x+(1+a)$，开口向下的抛物线，两根为 $\alpha ,\beta$。

✅【答案】

点击查看答案

(1)$f$ 在 $(-\infty ,\alpha ]$ 减、$[\alpha ,\beta ]$ 增、$[\beta ,+\infty )$ 减；(2)最大值点 $x=\beta (0<a<4)$ 或 $x=1(a⩾4)$；最小值点 $x=1(0<a<1)$，$x=0$ 或 $1(a=1)$，$x=0(a>1)$

✍【详细解析】

Abstract

(1)定义域为 $\mathbf{R}$，$f^{\prime }(x)=1+a-2x-3x^2=-3x^2-2x+1+a$。令 $f^{\prime }(x)=0$，即 $3x^2+2x-(1+a)=0$，因 $a>0$，两根为 $\alpha =\frac{-1-\sqrt{4+3a}}{3}<0$，$\beta =\frac{-1+\sqrt{4+3a}}{3}>0$，且 $f^{\prime }(x)=-3(x-\alpha )(x-\beta )$。 故 $f(x)$ 在 $(-\infty ,\alpha ]$ 上单调递减，在 $[\alpha ,\beta ]$ 上单调递增，在 $[\beta ,+\infty )$ 上单调递减。 (2) $\alpha <0$，只需比较 $\beta$ 与 $1$：$\beta ⩽1⟺\sqrt{4+3a}⩽4⟺a⩽4$。 当 $0<a<4$ 时，$f$ 在 $[0,\beta ]$ 增、$[\beta ,1]$ 减，最大值在 $x=\beta$ 处取得；当 $a⩾4$ 时，$f$ 在 $[0,1]$ 上递增，最大值在 $x=1$ 处取得。 比较端点：$f(0)=1$，$f(1)=a$。故最小值点：$0<a<1$ 时为 $x=1$；$a=1$ 时 $x=0$ 或 $x=1$；$a>1$ 时 $x=0$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数研究单调性与最值（含参分类讨论）

2. 核心方法：求根公式 + 双层分类（极值点位置、端点比较）

3. 避坑指南：极大值点 $\beta$ 是否落入 $[0,1]$ 由 $a⩽4$ 决定；最小值是比较端点 $f(0)=1$ 与 $f(1)=a$，以 $a=1$ 分界——$a=1$ 时两点并列，别漏。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 含参三次函数的双层分类讨论是导数解答题的经典结构：内层定极值点位置，外层比端点。

2. 结论推广: 推广：$f^{\prime }$ 是二次的含参函数时，先定根的存在与符号，再按根与区间的相对位置分类。

3. 方法推广: 分类讨论自查：每层分类标准唯一、各类之间不重不漏、最后按参数范围分小结作答。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-21 解-求曲线的切线
• 2014-安徽卷理-21 解-伯努利不等式