2014-安徽卷理-21 解-伯努利不等式

本题导读

本题是 2014 年安徽理科压轴题，综合性极强。第一问要求证明经典的伯努利不等式；第二问则以此为基础，考查学生对递推数列性质（单调性、有界性）的深度证明能力，体现了向高等数学“数列极限”过渡的数学思想。

📌【题干】

Question

（2014年安徽卷(理)） 设实数 $c>0$，整数 $p>1$，$n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

(1) 证明：当 $x>-1$ 且 $x\ne 0$ 时，$(1+x{)}^p>1+px$；

(2) 数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1>c^{\frac{1}{p}}$，$a_{n+1}=\frac{p-1}{p}{a}_n+\frac{c}{p}{a}_n^{1-p}$，证明：$a_n>a_{n+1}>c^{\frac{1}{p}}$.

🔍【思路分析】

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1. 第一问分析：本问即证明伯努利不等式。对于正整数指数 $p$，最直接的方法是使用数学归纳法。也可以通过构造函数 $f(x)=(1+x{)}^p-(1+px)$ 并求导来证明其最小值。

2. 第二问分析：

   • 证明 $a_n>c^{\frac{1}{p}}$（有界性）：

     利用数学归纳法。关键步骤是将 $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ 变形，利用第一问的结论。

     注意到 $a_{n+1}=a_n\left[1+\frac{1}{p}\left(\frac{c}{a_n^p}-1\right)\right]$，设 $x=\frac{1}{p}\left(\frac{c}{a_n^p}-1\right)$，尝试利用第一问的指数形式。

   • 证明 $a_n>a_{n+1}$（单调性）：

     考察 $a_n-a_{n+1}=a_n-\left(\frac{p-1}{p}{a}_n+\frac{c}{p}{a}_n^{1-p}\right)=\frac{1}{p}{a}_n-\frac{c}{p}{a}_n^{1-p}=\frac{1}{p}{a}_n^{1-p}(a_n^p-c)$。

     只要 $a_n^p>c$（即 $a_n>c^{\frac{1}{p}}$），则单调性自然成立。

✅【答案】

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综上所述，对一切整数 $p>1$，不等式均成立。；综上所述，$a_n>a_{n+1}>c^{\frac{1}{p}}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明：

使用数学归纳法证明 $(1+x{)}^p>1+px$（$x>-1,x\ne 0,p\in {\mathbb{Z}}^{+},p>1$）。

1. 当 $p=2$ 时，$(1+x{)}^2=1+2x+x^2$。

   因为 $x\ne 0$，所以 $x^2>0$，故 $1+2x+x^2>1+2x$，结论成立。

2. 假设当 $p=k$ ($k\ge 2$) 时，结论成立，即 $(1+x{)}^k>1+kx$。

   当 $p=k+1$ 时，由于 $x>-1$，则 $1+x>0$。

   $(1+x{)}^{k+1}=(1+x{)}^k(1+x)>(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+k{x}^2$。

   因为 $k{x}^2>0$，所以 $1+(k+1)x+k{x}^2>1+(k+1)x$。

   即当 $p=k+1$ 时结论也成立。

   综上所述，对一切整数 $p>1$，不等式均成立。

(2) 证明：

第一步：证明 $a_n>c^{\frac{1}{p}}$

使用数学归纳法。

1. 当 $n=1$ 时，已知 $a_1>c^{\frac{1}{p}}$，结论成立。

2. 假设当 $n=k$ 时，$a_k>c^{\frac{1}{p}}$ 成立。

   则 $\frac{a_{k+1}}{a_k}=\frac{p-1}{p}+\frac{c}{p{a}_k^p}=1+\frac{1}{p}\left(\frac{c}{a_k^p}-1\right)$。

   令 $x=\frac{1}{p}\left(\frac{c}{a_k^p}-1\right)$。因为 $0<\frac{c}{a_k^p}<1$，所以 $-1<-\frac{1}{p}<x<0$。

   根据(1)中的结论，$(1+x{)}^p>1+px$。

   这里反向使用：$1+px<(1+x{)}^p⟹1+p\cdot \frac{1}{p}\left(\frac{c}{a_k^p}-1\right)<{\left[1+\frac{1}{p}\left(\frac{c}{a_k^p}-1\right)\right]}^p$。

   化简左边：$1+\frac{c}{a_k^p}-1=\frac{c}{a_k^p}$。

   所以 $\frac{c}{a_k^p}<(\frac{a_{k+1}}{a_k}{)}^p⟹c<a_{k+1}^p⟹a_{k+1}>c^{\frac{1}{p}}$。

   由归纳法知，$a_n>c^{\frac{1}{p}}$ 对一切 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ 均成立。

第二步：证明 $a_n>a_{n+1}$

考虑差值：

$a_n-a_{n+1}=a_n-\left(\frac{p-1}{p}{a}_n+\frac{c}{p}{a}_n^{1-p}\right)=\frac{1}{p}{a}_n-\frac{c}{p}{a}_n^{1-p}$

$=\frac{1}{p}{a}_n^{1-p}(a_n^p-c)$

因为 $a_n>c^{\frac{1}{p}}$，所以 $a_n^p>c$，且 $a_n>0$。

故 $a_n-a_{n+1}>0$，即 $a_n>a_{n+1}$。

综上所述，$a_n>a_{n+1}>c^{\frac{1}{p}}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：伯努利不等式及递推数列的单调性与有界性。

2. 核心方法：第一问用数学归纳法证伯努利不等式；第二问用归纳法结合第一问证有界与单调。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 伯努利不等式 $(1+x{)}^p>1+px$ 与数列极限思想。

2. 结论推广: $(1+x{)}^p>1+px$（$x>-1,x\ne 0,p>1$）。

3. 方法推广: 递推数列单调有界性可用数学归纳法结合已知不等式证明。

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