2014-山东卷文-04 单-反证法

本题导读

“至少有一个实根”的否定是”没有实根”，选 A。

📌【题干】

Question

（2014年山东卷(文)） 用反证法证明命题”设 $a$，$b$ 为实数，则方程 $x^3+ax+b=0$ 至少有一个实根”时，要做的假设是()

A. 方程 $x^3+ax+b=0$ 没有实根

B. 方程 $x^3+ax+b=0$ 至多有一个实根

C. 方程 $x^3+ax+b=0$ 至多有两个实根

D. 方程 $x^3+ax+b=0$ 恰好有两个实根

🔍【思路分析】

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“至少有一个实根”的否定是”没有实根”，选 A。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

反证法的第一步是否定结论。

结论”至少有一个实根”即”实根个数 $\ge 1$“，其否定是”实根个数 $=0$“，即”没有实根”。

所以要假设方程 $x^3+ax+b=0$ 没有实根。选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：反证法（否定结论）；“至少”型命题的否定

2. 核心方法：把结论完整否定：$\ge 1$ 的否定是 $=0$

3. 避坑指南：“至少有一个”的否定是”一个也没有”，不是”至多有一个”——选项 B/C 都是否定不完整的干扰项。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 反证法概念题，与 1980 年全国卷理第 5 题、2002 年新课标卷理第 3 题同族。

2. 结论推广: 一般地，“至少有 $n$ 个”的否定是”至多有 $n-1$ 个”；“至少有一个”的否定是”一个也没有”。

3. 方法推广: 反证法三步：否定结论 → 推出矛盾 → 肯定原结论；第一步的否定必须完整覆盖结论的反面。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 1980-全国卷理-05
• 2002-新课标理-03 单-空间点、线、面的位置关系