2014-山东卷理-04 单-反证法

本题导读

本题考查反证法的基本概念，重点在于理解结论的否定形式。要求学生掌握关键词“至少有一个”在逻辑上的否定表述。

📌【题干】

Question

（2014年山东卷(理)） 用反证法证明命题“设 $a,b\in R$，则方程 $x^2+ax+b=0$ 至少有一个实根”时要做的假设是()

A. 方程 $x^2+ax+b=0$ 没有实根

B. 方程 $x^2+ax+b=0$ 至多有一个实根

C. 方程 $x^2+ax+b=0$ 至多有两个实根

D. 方程 $x^2+ax+b=0$ 恰好有两个实根

🔍【思路分析】

破题导航

1. 反证法的定义：反证法的第一步是假设命题结论的反面成立。
2. 分析结论：原命题的结论是“方程 $x^2+ax+b=0$ 至少有一个实根”。
3. 寻找逻辑否定：
   • “至少有一个”的含义是：根的个数 $n\ge 1$（即 $1,2,\dots$）。
   • 其逻辑对立面（否定）是：根的个数 $n<1$，即 $n=0$。
   • 翻译成文字表达即为：“没有实根”或“零个实根”。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：识别结论关键词 原命题结论为“至少有一个实根”。

第二步：逻辑取反 在逻辑学中，常见量词的否定对应关系如下表：

原词语	否定词
至少有一个	一个也没有（没有）
至多有一个	至少两个
都是	不都是（至少有一个不是）
任意的	存在的

第三步：得出假设 “至少有一个实根”的反面是“没有实根”。 因此，反证法的第一步假设应为：方程 $x^2+ax+b=0$ 没有实根。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：反证法的假设步骤。必须对结论进行全面、准确的否定。

2. 核心方法：关键词对立转换。牢记“至少有一个”的反面是“一个也没有”。

3. 避坑指南：容易混淆“至少”与“至多”。(B) 选项“至多有一个”包含“没有”和“有一个”两种情况，并不是“至少有一个”的纯粹对立面。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 命题的否定与否命题的区别。

2. 结论推广: 在证明“$\dots$ 不超过 $n$ 个”时，反证法假设应为“$\dots$ 至少有 $n+1$ 个”。

3. 方法推广: 面对正面证明困难（如结论中含有“至少”、“至多”、“唯一”、“不”等词汇）时，优先考虑反证法。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

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• 2013-大纲卷理-05 单-反函数的求法