2014-山东卷文-05 单-增减性比较

本题导读

$0<a<1$ 时 $a^x$ 递减，由 $a^x<a^y$ 得 $x>y$，故 $x^3>y^3$ 恒成立，选 A。

📌【题干】

Question

（2014年山东卷(文)） 已知实数 $x$，$y$ 满足 $a^x<a^y$（$0<a<1$），则下列关系式恒成立的是()

A. $x^3>y^3$　　B. $\sin x>\sin y$　　C. $\ln (x^2+1)>\ln (y^2+1)$　　D. $\frac{1}{x^2+1}>\frac{1}{y^2+1}$

🔍【思路分析】

破题导航

$0<a<1$ 时 $a^x$ 递减，由 $a^x<a^y$ 得 $x>y$，故 $x^3>y^3$ 恒成立，选 A。

✅【答案】

点击查看答案

A

✍【详细解析】

Abstract

$0<a<1$ 时 $y=a^x$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递减，由 $a^x<a^y$ 得 $x>y$。

(A) $y=x^3$ 在 $\mathbf{R}$ 上递增，$x>y⟹x^3>y^3$，恒成立 ✓。

(B) $\sin x$ 只有在 $[-\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{\pi }{2}+2k\pi ]$ 上递增，一般不成立。

(C)(D) 只对 $|x|>|y|$ 成立，而 $x>y$ 不保证 $|x|>|y|$（如 $x=1>y=-5$ 时 $x^2<y^2$）。不成立。

选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：指数函数的单调性；幂函数 $y=x^3$ 的单调性

2. 核心方法：底数小于 1 先”翻”出 $x>y$，再找在 $\mathbf{R}$ 上恒增的函数

3. 避坑指南：①$0<a<1$ 时指数函数递减，不等号要反向；②$x>y$ 与 $|x|>|y|$ 是两回事——(C)(D) 都栽在这，反例 $x=1$，$y=-5$ 一试便知。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 单调性传递比较题，与 2014 年北京卷文第 2 题、1983 年全国卷理第 5 题同族。

2. 结论推广: 一般地，由 $a^x<a^y$：$a>1$ 得 $x<y$，$0<a<1$ 得 $x>y$；要保证 $f(x)>f(y)$ 恒成立，$f$ 必须在 $\mathbf{R}$ 上恒增（如 $x^3$），周期函数或只对绝对值单调的函数都不行。

3. 方法推广: 抽象不等式传递题：先由已知单调性翻出 $x,y$ 的大小，再逐项检验各函数是否”全程单调”。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2014-北京卷文-02 单-函数增减比较
• 1983-全国卷理-05