2014-北京卷文-02 单-函数增减比较

本题导读

$y=x^3$ 定义域为 $\mathbf{R}$ 且在 $\mathbf{R}$ 上递增，选 B。

📌【题干】

Question

（2014年北京卷(文)） 下列函数中，定义域是 $\mathbf{R}$ 且为增函数的是()

A. $y=e^{-x}$　B. $y=x^3$　C. $y=\ln x$　D. $y=|x|$

🔍【思路分析】

破题导航

$y=x^3$ 定义域为 $\mathbf{R}$ 且在 $\mathbf{R}$ 上递增，选 B。

✅【答案】

点击查看答案

B

✍【详细解析】

Abstract

逐项检验：

(A) $y=e^{-x}$：定义域 $\mathbf{R}$，但复合后是减函数——$x$ 增大时 $-x$ 减小，$e^{-x}$ 减小。排除。

(B) $y=x^3$：定义域 $\mathbf{R}$，且在 $\mathbf{R}$ 上递增（幂指数为奇数的幂函数）。✓

(C) $y=\ln x$：定义域 $(0,+\infty )$，不是 $\mathbf{R}$。排除。

(D) $y=|x|$：定义域 $\mathbf{R}$，但在 $(-\infty ,0]$ 上递减、$[0,+\infty )$ 上递增，在 $\mathbf{R}$ 上不是增函数。排除。

选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：指数、幂、对数函数的定义域与单调性

2. 核心方法：“定义域 $\mathbf{R}$”+“在 $\mathbf{R}$ 上递增”双条件逐项排查

3. 避坑指南：两个条件缺一不可：$\ln x$ 单调递增但定义域不是 $\mathbf{R}$；$|x|$ 定义域是 $\mathbf{R}$ 但不单调——四个选项各卡掉一个条件。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 初等函数性质比较题，与 1982 年全国卷理第 1 题（增减判断）同族。

2. 结论推广: 一般地，$y=x^a$（$a$ 为正奇数）在 $\mathbf{R}$ 上递增；$y=e^{-x}$ 型复合函数单调性”同增异减”；$y=|x|$ 是分段函数，全区间单调要两端一致。

3. 方法推广: 双条件筛选题：把两个条件列成清单逐项打勾，任何一项不满足即排除。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1982-全国卷理-01
• 1977-天津-01(2)