2014-山东卷文-10 单-线性规划柯西

本题导读

可行域知 $x\ge 2$，最优解 $(2,1)$，$2a+b=2\sqrt{5}$；柯西 $(2a+b{)}^2\le 5(a^2+b^2)$ ⟹ $a^2+b^2\ge 4$，选 B。

📌【题干】

Question

（2014年山东卷(文)） 已知 $x$，$y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x-y-1\le 0,\\ 2x-y-3\ge 0,\end{array}$ 当目标函数 $z=ax+by$（$a>0$，$b>0$）在该约束条件下取到最小值 $2\sqrt{5}$ 时，$a^2+b^2$ 的最小值为()

A. 5　　　　　　　B. 4　　　　　　　C. $\sqrt{5}$　　　　　　　D. 2

🔍【思路分析】

破题导航

可行域知 $x\ge 2$，最优解 $(2,1)$，$2a+b=2\sqrt{5}$；柯西 $(2a+b{)}^2\le 5(a^2+b^2)$ ⟹ $a^2+b^2\ge 4$，选 B。

✅【答案】

点击查看答案

B

✍【详细解析】

Abstract

约束即 $y\ge x-1$ 且 $y\le 2x-3$。可行域非空要求 $x-1\le 2x-3$，即 $x\ge 2$。

对固定的 $x$，因 $b>0$，$z=ax+by$ 在最小的可行 $y$（即 $y=x-1$）处取最小，

$z=ax+b(x-1)=(a+b)x-b$。又 $a+b>0$、$x\ge 2$，最小值在 $(x,y)=(2,1)$ 取得。

由最小值为 $2\sqrt{5}$：$2a+b=2\sqrt{5}$。

由柯西不等式：$(2a+b{)}^2\le (2^2+1^2)(a^2+b^2)=5(a^2+b^2)$，

所以 $a^2+b^2\ge \frac{(2\sqrt{5}{)}^2}{5}=4$。

当 $(a,b)=t(2,1)$ 且 $5t=2\sqrt{5}$，即 $a=\frac{4\sqrt{5}}{5}$，$b=\frac{2\sqrt{5}}{5}$ 时取等。

所以 $a^2+b^2$ 的最小值为 4。选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线性规划（含参目标函数）；柯西不等式（或基本不等式）

2. 核心方法：两层最值分层处理：先对 $(x,y)$ 求 $z$ 的最小值点，再对 $(a,b)$ 用柯西求下界

3. 避坑指南：①可行域是无界区域（$x\ge 2$ 向右无限延伸），最值在”顶点 $(2,1)$“处取得依赖 $a,b>0$ 的方向，别画成有界三角形；②$2a+b=2\sqrt{5}$ 是约束不是结论，$a^2+b^2$ 的下界要靠柯西（向量 $(2,1)$ 与 $(a,b)$ 的夹角余弦 ≤ 1）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 线性规划 + 柯西综合压轴选择题，与 2014 年新课标Ⅰ理第 9 题、新课标Ⅱ理第 9 题同族。

2. 结论推广: 一般地，已知 $ma+nb=c$（常数），$a^2+b^2\ge \frac{c^2}{m^2+n^2}$，当 $(a,b)$ 与 $(m,n)$ 共线时取等——柯西不等式的二维形式。

3. 方法推广: 双参数最值：把”目标函数取到某值”转成参数的等式约束，再用柯西/基本不等式求参数函数的最值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 03.03 柯西不等式

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-09 单-平面区域的表示
• 2014-北京卷文-13 填-线性规划