2014-北京卷文-13 填-线性规划

本题导读

可行域顶点 $(0,1)$、$(2,1)$、$(1,0)$，$z=\sqrt{3}x+y$ 在 $(0,1)$ 取最小值 1。

📌【题干】

Question

（2014年北京卷(文)） 若 $x$，$y$ 满足 $\{\begin{array}{l}y\le 1,\\ x-y-1\le 0,\\ x+y-1\ge 0,\end{array}$ 则 $z=\sqrt{3}x+y$ 的最小值为$\underline{}$.

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可行域顶点 $(0,1)$、$(2,1)$、$(1,0)$，$z=\sqrt{3}x+y$ 在 $(0,1)$ 取最小值 1。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

三条边界两两求交点：

$y=1$ 与 $x+y-1=0$ 交于 $(0,1)$；$y=1$ 与 $x-y-1=0$ 交于 $(2,1)$；$x+y-1=0$ 与 $x-y-1=0$ 交于 $(1,0)$。

可行域是以 $(0,1)$、$(2,1)$、$(1,0)$ 为顶点的三角形（含边界）。

代入 $z=\sqrt{3}x+y$：$(0,1)$ 得 1；$(2,1)$ 得 $2\sqrt{3}+1\approx 4.46$；$(1,0)$ 得 $\sqrt{3}\approx 1.73$。

最小值为 1（在 $(0,1)$ 处取得）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线性规划；目标函数在顶点处取最值

2. 核心方法：画边界 → 定区域 → 求顶点 → 代入比较

3. 避坑指南：目标函数系数含 $\sqrt{3}$，比较大小要保留根号精确比较（$\sqrt{3}\approx 1.73>1$），提前四舍五入容易误判；最小值在”最左上”的顶点 $(0,1)$，不在 $x$ 最小的别的点。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 线性规划基础题，与 2014 年新课标Ⅱ文第 9 题、2015 年新课标Ⅰ文第 15 题同族。

2. 结论推广: 一般地，线性目标函数 $z=Ax+By$ 的最值在可行域顶点取得；顶点由边界两两联立求出。

3. 方法推广: 线性规划标准流程：画边界 → 定区域 → 求顶点 → 代入比较。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2014-新课标II卷文-09 单-线性规划
• 2015-新课标I卷文-15 填-线性规划