2014-山东卷文-12 填-三角周期

本题导读

$y=\frac{1}{2}+\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$，$T=\frac{2\pi }{2}=\pi$。

📌【题干】

Question

（2014年山东卷(文)） 函数 $y=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x+{\cos }^{2}x$ 最小正周期为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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$y=\frac{1}{2}+\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$，$T=\frac{2\pi }{2}=\pi$。

✅【答案】

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$\pi$

✍【详细解析】

Abstract

${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$，所以

$y=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x+\frac{\cos 2x}{2}+\frac{1}{2}=\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)+\frac{1}{2}$。

（辅助角：$\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x+\frac{1}{2}\cos 2x$，$\tan \phi =\frac{1/2}{\sqrt{3}/2}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，$\phi =\frac{\pi }{6}$。）

$\omega =2$，$T=\frac{2\pi }{2}=\pi$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二倍角降幂；辅助角公式；周期公式 $T=\frac{2\pi }{\omega }$

2. 核心方法：先降幂统一为一次同角三角式，再读 $\omega$

3. 避坑指南：常数项 $\frac{1}{2}$ 不影响周期；$\omega$ 是 $x$ 的系数 2，周期 $\pi$ 而不是 $2\pi$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 三角函数周期基础题，与 2014 年新课标Ⅰ理第 6 题、2014 年北京卷文第 16 题同章。

2. 结论推广: 一般地，$y=A\sin (\omega x+\phi )+k$ 的周期只由 $\omega$ 决定：$T=\frac{2\pi }{\omega }$（$\omega >0$）。

3. 方法推广: “sin² 与 sin 混合”先降幂，“异名三角式”再辅助角合一，最后按 $\omega$ 读周期。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-06 单-三角函数的图象
• 2014-北京卷文-16 解-三角函数图象