2014-山东卷文-13 填-六棱锥侧面积

本题导读

$V=2\sqrt{3}$、$S_{底}=6\sqrt{3}$ ⟹ 高 $h=1$；边心距 $\sqrt{3}$、斜高 2，侧面积 $6\times \frac{1}{2}\times 2\times 2=12$。

📌【题干】

Question

（2014年山东卷(文)） 一个六棱锥的体积为 $2\sqrt{3}$，其底面是边长为 2 的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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$V=2\sqrt{3}$、$S_{底}=6\sqrt{3}$ ⟹ 高 $h=1$；边心距 $\sqrt{3}$、斜高 2，侧面积 $6\times \frac{1}{2}\times 2\times 2=12$。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

底面正六边形面积 $S_{底}=6\times \frac{\sqrt{3}}{4}\times 2^2=6\sqrt{3}$。

由 $V=\frac{1}{3}{S}_{底}h$：$2\sqrt{3}=\frac{1}{3}\times 6\sqrt{3}\times h$，$h=1$。

侧棱都相等 ⟹ 顶点在底面内的射影是正六边形中心 $O$。边心距 $OE=2\cos \frac{\pi }{6}=\sqrt{3}$。

斜高 $PE=\sqrt{P{O}^2+O{E}^2}=\sqrt{1+3}=2$。

每个侧面三角形面积 $\frac{1}{2}\times 2\times 2=2$，侧面积 $=6\times 2=12$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：棱锥的体积公式；正六边形的边心距；正棱锥的斜高与侧面积

2. 核心方法：体积反求高 → “高 + 边心距”勾股出斜高 → 六个侧面求和

3. 避坑指南：①正六边形边长 2 的面积是 $6\times \frac{\sqrt{3}}{4}\times 4=6\sqrt{3}$，别用 $\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$ 只算一个正三角形；②侧面积用斜高（$PE=2$）不用侧棱（$\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$），两者别混。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 正棱锥计算题，与 2014 年新课标Ⅱ理第 18 题、1977 年上海理第 4 题同章。

2. 结论推广: 一般地，正 $n$ 棱锥中”高 $h$、边心距 $r$、斜高 $h^{\prime }$“构成直角三角形（$h^{\prime 2}=h^2+r^2$）；侧面积 = $\frac{1}{2}\times$ 底面周长 × 斜高。

3. 方法推广: 棱锥综合计算：体积/面积公式互相反求 → 直角三角形链条（高—边心距—斜高、高—外接圆半径—侧棱）逐段解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2014-新课标II卷理-18 解-直线与平面平行判定
• 1977-上海理-04