2011-上海卷文-07 填-圆锥侧面积

本题导读

本题考查圆锥的侧面积，以及三视图（主视图）。

📌【题干】

Question

（2011年上海卷(文)） 若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为 $3$，$3$，$2$ 的三角形，则该圆锥的侧面积为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：主视图三角形腰为母线 $l=3$、底为直径 $2r=2$
2. 步骤2：套 $S_{\text{侧}}=\pi rl$

✅【答案】

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$3\pi$

✍【详细解析】

Abstract

主视图三角形的两腰即圆锥母线 $l=3$，底边即底面直径 $2r=2$，故 $r=1$。

圆锥侧面积 $S_{\text{侧}}=\pi rl=\pi \times 1\times 3=3\pi$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：主视图与圆锥几何量的对应；圆锥侧面积公式

核心方法：主视图中：腰 $=$ 母线，底边 $=$ 直径；再套侧面积公式

避坑指南：底边 $2$ 是直径不是半径，$r=1$；侧面积用 $\pi rl$ 而不是全面积 $\pi rl+\pi r^2$（后者为 $4\pi$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆锥侧面积题与 2014-上海卷理-06、2014-陕西卷文-05、2014-山东卷文-13 同族。

结论推广：推广：圆锥主视图为等腰三角形（腰 $l$、底 $2r$）；若给出顶角可由 $r=l\sin \frac{\theta }{2}$ 求半径。

方法推广：旋转体三视图题：先把视图线段翻译成 $r$、$l$、$h$，再选面积/体积公式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2014-上海卷理-06 填-圆锥的侧面积与底面积
• 2014-陕西卷文-05 单-旋转体侧面积
• 2014-山东卷文-13 填-六棱锥侧面积