2014-山东卷理-06 单-定积分与微积分基本定理

本题导读

本题考查定积分在几何面积计算中的应用。核心意图是利用定积分公式计算两条给定曲线在特定区间内围成的封闭图形面积。

📌【题干】

Question

（2014年山东卷(理)） 直线 $y=4x$ 与曲线 $y=x^3$ 在第一象限内围成的封闭图形的面积为()

A. $2\sqrt{2}$　　　　　　　B. $4\sqrt{2}$　　　　　　　C. $2$　　　　　　　D. $4$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定积分区间：联立直线 $y=4x$ 与曲线 $y=x^3$，求出它们在第一象限内的交点坐标，从而确定积分的上下限。
2. 判断函数上下位置：在第一象限的积分区间内，通过取值测试或观察图象，判断哪条曲线在上，哪条在下。
3. 列式计算：利用定积分面积公式 $S={\int }_a^b[f(x)-g(x)]dx$ 进行计算，最后根据微积分基本定理得出数值。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求交点确定积分限 联立方程组：

$$\{\begin{array}{l}y=4x\\ y=x^3\end{array}$$

得 $x^3=4x$，即 $x(x^2-4)=0$。 解得 $x_1=0,x_2=2,x_3=-2$。 因为题目要求在第一象限内，所以积分区间为 $[0,2]$。

第二步：确定被积函数 在区间 $(0,2)$ 内，取 $x=1$：

• 直线值 $y=4\times 1=4$；
• 曲线值 $y=1^3=1$。 因为 $4>1$，所以在此区间内直线 $y=4x$ 位于曲线 $y=x^3$ 的上方。

第三步：计算定积分 封闭图形的面积 $S$ 为： $S={\int }_0^2(4x-x^3)dx$ $=\left(2x^2-\frac{1}{4}{x}^4\right){|}_0^2$ $=(2\times 2^2-\frac{1}{4}\times 2^4)-(0-0)$ $=(8-4)=4$

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：定积分的几何意义即为曲边梯形的面积。

2. 核心方法：“上减下”原则。在计算两曲线围成的面积时，被积函数必须是上方曲线函数减去下方曲线函数。

3. 避坑指南：注意题目中“第一象限”的限制。如果不加限制，该封闭图形在第三象限还有一个对称的部分，总面积将是 $8$。此外，计算不定积分时，系数（如 $\frac{1}{4}$）的运算要仔细。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 牛顿-莱布尼茨公式。

2. 结论推广: 若曲线关于原点对称，则围成的总面积通常是单侧面积的 $2$ 倍。

3. 方法推广: 对于难以直接求出交点的题目，可以先设出交点，利用参数结合积分性质求解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2013-福建卷理-15 填-定积分
• 2013-江西卷理-06 单-定积分
• 2013-湖北卷理-07 单-定积分的几何意义与物理意义