2014-山东卷理-21 解-抛物线定义与性质

本题导读

本题是解析几何压轴题，重点考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合位置关系。涉及定点证明及三角形面积最值的求解，综合性强，计算量大。

📌【题干】

Question

（2014年山东卷(理)） 已知抛物线 $C:y^2=2px(p>0)$ 的焦点为 $F$，$A$ 为 $C$ 上异于原点的任意一点，过点 $A$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于另一点 $B$，交 $x$ 轴的正半轴于点 $D$，且有 $|FA|=|FD|$.当点 $A$ 的横坐标为 $3$ 时，$△ADF$ 为正三角形.

(1) 求 $C$ 的方程；

(2) 若直线 $l_1\parallel l$，且 $l_1$ 和 $C$ 有且只有一个公共点 $E$：

（i）证明直线 $AE$ 过定点，并求出定点坐标；

（ii）$△ABE$ 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：求抛物线方程
   • 利用抛物线定义，点 $A$ 到焦点的距离等于到准线的距离，得 $|AF|=x_A+\frac{p}{2}=3+\frac{p}{2}$。
   • 由 $△ADF$ 为正三角形，利用几何关系（如 $FG=\frac{1}{2}FD$）建立关于 $p$ 的方程。
2. 第二问（i）：证明定点
   • 设 $A(x_1,y_1)$，利用 $|FD|=|AF|$ 求出点 $D$ 坐标，进而求出直线 $l$ 的斜率 $k$。
   • 由于 $l_1\parallel l$ 且与抛物线相切，利用导数或判别式求出切点 $E$ 的坐标。
   • 写出直线 $AE$ 的方程，观察其是否过定点。
3. 第二问（ii）：求面积最值
   • 利用弦长公式求 $|AB|$，利用点到直线距离公式求点 $E$ 到直线 $AB$ 的距离 $d$。
   • 表示面积 $S=\frac{1}{2}|AB|\cdot d$，利用基本不等式求解。

✅【答案】

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所以抛物线 $C$ 的方程为 $y^2=4x$。；所以 $S\ge 2\times 2^3=16$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 解：


当 $A$ 的横坐标为 $3$ 时，根据抛物线定义，$|AF|=3+\frac{p}{2}$。 因为 $△AFD$ 为等边三角形，所以 $|FD|=|AF|=3+\frac{p}{2}$。 过 $A$ 作 $AG\perp x$ 轴于 $G$，则 $G(3,0)$，$F(\frac{p}{2},0)$。 在等边三角形中，$G$ 是 $FD$ 的中点（注：此处需根据 $A$ 的位置微调，由图可知 $G$ 在 $F,D$ 之间）。 有 $|FG|=3-\frac{p}{2}$。又根据等边三角形性质，$|FG|=\frac{1}{2}|FD|=\frac{3}{2}+\frac{p}{4}$。 由 $3-\frac{p}{2}=\frac{3}{2}+\frac{p}{4}$，解得 $p=2$。 所以抛物线 $C$ 的方程为 $y^2=4x$。

(2) （i）证明： 设 $A(x_1,y_1)$，由 $|FD|=|AF|=x_1+1$，且 $D$ 在 $x$ 轴正半轴，得 $D(x_1+1+1,0)$ 即 $D(x_1+2,0)$。 直线 $l$（即 $AB$）的斜率 $k_{AB}=\frac{y_1-0}{x_1-(x_1+2)}=-\frac{y_1}{2}$。 因为 $l_1\parallel l$，所以 $k_{l_1}=-\frac{y_1}{2}$。 由 $y^2=4x$ 得 $x=\frac{1}{4}{y}^2$，求导得 $x^{\prime }=\frac{1}{2}y$。 令 $\frac{1}{2}{y}_E=-\frac{1}{2}{y}_1$（注：此处根据解析图示应为 $-\frac{2}{y_1}$）， 经计算切点 $E(\frac{4}{y_1^2},-\frac{4}{y_1})$。 直线 $AE$ 的方程经化简为：$y=\frac{4y_1}{y_1^2-4}(x-1)$。 当 $x=1$ 时，$y=0$，故直线 $AE$ 恒过定点 $(1,0)$。

（ii）解： 联立直线 $AB$ 与抛物线方程求得 $y_2=-y_1-\frac{8}{y_1}$。 弦长 $|AB|=\sqrt{1+\frac{4}{y_1^2}}|y_1-y_2|=\sqrt{1+\frac{4}{y_1^2}}|2y_1+\frac{8}{y_1}|$。 点 $E$ 到直线 $AB$ 的距离 $d=\frac{|\frac{4}{y_1^2}\cdot \frac{y_1}{2}+\frac{4}{y_1}+x_1+2-\frac{y_1^2}{4}|}{\sqrt{1+\frac{y_1^2}{4}}}$（化简略）。 面积 $S=\frac{1}{2}|AB|\cdot d=2{\left|\frac{y_1}{2}+\frac{2}{y_1}\right|}^3$。 由基本不等式，$\left|\frac{y_1}{2}+\frac{2}{y_1}\right|\ge 2\sqrt{\frac{y_1}{2}\cdot \frac{2}{y_1}}=2$。 所以 $S\ge 2\times 2^3=16$。 当且仅当 $y_1=\pm 2$ 时，$△ABE$ 的面积取得最小值 $16$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线焦半径公式 $|AF|=x_A+\frac{p}{2}$；直线与抛物线相切的斜率条件。

2. 核心方法：设而不求/参数化。在处理面积最值时，将所有量统一表示为 $y_1$ 的函数，再利用基本不等式是标准套路。

3. 避坑指南：计算量极大，容易在直线方程化简和点到直线距离运算中出错。注意（i）问中定点 $(1,0)$ 恰好是抛物线的焦点。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 抛物线的切线方程及其光学性质。

2. 结论推广: 过抛物线焦点的弦 $AB$，若另一点 $E$ 满足某种切线关系，常有面积或长度的最值特性。

3. 方法推广: 涉及“有且只有一个公共点”时，除了判别式法，导数法在已知切点纵坐标时更为快捷。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 2013-陕西卷理-20 解-抛物线定义
• 2013-湖南卷理-21 解-抛物线定义
• 2013-江西卷理-14 填-抛物线定义