2013-陕西卷理-20 解-抛物线定义

本题导读

本题考查抛物线的定义与标准方程。核心在于直接法、设而不求法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年陕西卷(理)）已知动圆过定点 $A (4, 0)$ ，且在 $y$ 轴上截得的弦 $M N$ 的长为 $8$ .

（I）求动圆圆心轨迹 $C$ 的方程；

（II）已知点 $B (- 1, 0)$ ，设不垂直于 $x$ 轴的直线 $l$ 与轨迹 $C$ 交于不同的两点 $P, Q$ .若 $x$ 轴是 $∠ P B Q$ 的角平分线，证明直线 $l$ 过定点.

🔍【思路分析】

破题导航

第一问（轨迹方程）：

设动圆圆心为 $C (x, y)$ ，半径为 $R$ 。

根据圆过定点 $A (4, 0)$ ，得 $R^{2} = (x - 4)^{2} + y^{2}$ 。

根据圆在 $y$ 轴上截得弦长为 $8$ ，利用垂径定理得 $R^{2} = x^{2} + (\frac{8}{2})^{2} = x^{2} + 16$ 。

联立消去 $R^{2}$ 整理得到 $y^{2}$ 与 $x$ 的关系式。

第二问（定点证明）：

转化条件： $x$ 轴是 $∠ P B Q$ 的角平分线 $⟺$ 直线 $B P$ 与 $B Q$ 关于 $x$ 轴对称 $⟺ k_{B P} + k_{B Q} = 0$ 。

设定变量：设直线 $l : y = k x + b$ ( $k \neq = 0$ )，设 $P (x_{1}, y_{1}), Q (x_{2}, y_{2})$ 。

联立方程：将直线方程与抛物线方程 $y^{2} = 8 x$ 联立，写出韦达定理。

代数化简：将斜率和表达式用坐标表示，并代入韦达定理，寻找 $k$ 与 $b$ 的比例关系，从而确定定点坐标。

✅【答案】

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（I）解：求轨迹方程；（II）证明：直线过定点

✍【详细解析】

Abstract

（I）解：求轨迹方程 设动圆圆心坐标为 $C (x, y)$ ，半径为 $R$ 。由圆过点 $A (4, 0)$ ，得 $R^{2} = (x - 4)^{2} + y^{2}$ 。又圆在 $y$ 轴上截得弦长为 $8$ ，圆心到 $y$ 轴距离为 $∣ x ∣$ ，由垂径定理得 $R^{2} = x^{2} + 4^{2} = x^{2} + 16$ 。所以 $(x - 4)^{2} + y^{2} = x^{2} + 16$ 。整理得 $x^{2} - 8 x + 16 + y^{2} = x^{2} + 16$ ，即 $y^{2} = 8 x$ 。由于圆心在 $y$ 轴截得弦长，说明圆心不能在 $y$ 轴上且圆必须跨过 $y$ 轴，由 $R^{2} > x^{2}$ 恒成立知无额外限制。故轨迹 $C$ 的方程为 $y^{2} = 8 x$ 。

（II）证明：直线过定点 设直线 $l : y = k x + b$ ( $k \neq = 0$ )，代入 $y^{2} = 8 x$ 得： $(k x + b)^{2} = 8 x ⟹ k^{2} x^{2} + (2 k b - 8) x + b^{2} = 0$ 。设 $P (x_{1}, y_{1}), Q (x_{2}, y_{2})$ ，由韦达定理得： $x_{1} + x_{2} = \frac{8 - 2 k b}{k ^{2}}$ ， $x_{1} x_{2} = \frac{b ^{2}}{k ^{2}}$ 。因为 $x$ 轴是 $∠ P B Q$ 的角平分线， $B (- 1, 0)$ ，所以 $k_{B P} + k_{B Q} = 0$ ，即 $\frac{y _{1}}{x _{1} + 1} + \frac{y _{2}}{x _{2} + 1} = 0$ 。 $\frac{k x _{1} + b}{x _{1} + 1} + \frac{k x _{2} + b}{x _{2} + 1} = 0$ $(k x_{1} + b) (x_{2} + 1) + (k x_{2} + b) (x_{1} + 1) = 0$ $2 k x_{1} x_{2} + (k + b) (x_{1} + x_{2}) + 2 b = 0$ 代入韦达定理： $2 k \cdot \frac{b ^{2}}{k ^{2}} + (k + b) \cdot \frac{8 - 2 k b}{k ^{2}} + 2 b = 0$ 分子化简： $2 k b^{2} + (k + b) (8 - 2 k b) + 2 b k^{2} = 0$ $2 k b^{2} + 8 k - 2 k^{2} b + 8 b - 2 k b^{2} + 2 b k^{2} = 0$ $8 k + 8 b = 0 ⟹ b = - k$ 。

将 $b = - k$ 代入直线 $l$ 的方程： $y = k x - k = k (x - 1)$ 。无论 $k$ 取何值，当 $x = 1$ 时， $y = 0$ 。所以直线 $l$ 恒过定点 $(1, 0)$ 。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆的垂径定理与抛物线定义的综合；直线与抛物线联立后的定值问题。

核心方法：“坐标化斜率关系”。将几何上的“角平分线”翻译为代数上的“斜率之和为零”，是解析几何中解决对称性问题的常用套路。

避坑指南：联立方程后不要忘记判别式 $Δ > 0$ 的隐性约束（虽然在证明定点时往往能自动满足，但大题应体现严谨性）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抛物线的准线与焦点性质。

结论推广：若抛物线为 $y^{2} = 2 p x$ ，定点为 $B (- a, 0)$ ，若 $x$ 轴平分 $∠ P B Q$ ，则直线 $P Q$ 必过定点 $(a, 0)$ 。本题中 $a = 1$ 。

方法推广：若条件改为 $k_{B P} \cdot k_{B Q} = λ$ （定值），同样可以通过联立方程进行化简。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

18.03 抛物线专题全总结

18.05 圆锥曲线大题核心攻略

17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

2023-新高考II卷-10 多-抛物线

2014-福建卷文-21 解-抛物线

2014-湖南卷文-14 填-抛物线

∑ ( Math )

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2013-陕西卷理-20 解-抛物线定义

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