2014-广东卷文-19 解-数列与放缩

本题导读

(1) 令 $n=1$；(2)方程因式分解为 $(S_n-(n^2+n))(S_n+3)=0$；(3)$\frac{1}{a_k(a_k+1)}=\frac{1}{2k(2k+1)}<\frac{1}{2k(2k+2)}$，裂项得 $\frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)<\frac{1}{3}$。

📌【题干】

Question

（2014年广东卷(文)） 设各项均为正数的数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，且 $S_n$ 满足 $S_n^2-(n^2+n-3)S_n-3(n^2+n)=0$，$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$.

(1) 求 $a_1$ 的值；

(2) 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(3) 证明：对一切正整数 $n$，有 $\frac{1}{a_1(a_1+1)}+\frac{1}{a_2(a_2+1)}+\cdots +\frac{1}{a_n(a_n+1)}<\frac{1}{3}$.

🔍【思路分析】

破题导航

把 $S_n$ 看作未知数解一元二次方程，注意 $S_n>0$ 取正根。

✅【答案】

点击查看答案

(1) $a_1=2$；(2)$a_n=2n$；(3)见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1) 令 $n=1$：$S_1^2-(2+1-3)S_1-3(2+1)=S_1^2+S_1-6=0$，解得 $S_1=2$ 或 $S_1=-3$。由 $a_1=S_1>0$，得 $a_1=2$。 (2) 将原方程左边因式分解：$S_n^2-(n^2+n-3)S_n-3(n^2+n)=\left[S_n-(n^2+n)\right](S_n+3)$。验证：展开即 $S_n^2-(n^2+n)S_n+3S_n-3(n^2+n)$，与原式一致。因 $S_n>0$，故 $S_n=n^2+n$。 $n=1$ 时 $a_1=2=2\times 1$；$n⩾2$ 时 $a_n=S_n-S_{n-1}=(n^2+n)-\left[(n-1{)}^2+(n-1)\right]=2n$。故 $a_n=2n$。 (3) $\frac{1}{a_k(a_k+1)}=\frac{1}{2k(2k+1)}$。因 $2k+1<2k+2$，故 $\frac{1}{2k(2k+1)}<\frac{1}{2k(2k+2)}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)$。 求和得 $\sum _{k=1}^n\frac{1}{a_k(a_k+1)}<\frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)<\frac{1}{4}<\frac{1}{3}$，证毕。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：由 $S_n$ 求通项与裂项放缩

2. 核心方法：因式分解 + 放缩成可裂项形式

3. 避坑指南：$S_n^2$ 型方程直接因式分解（$(S_n-(n^2+n))(S_n+3)$），别死套求根公式；第(3)问的放缩方向是放大分母 $2k+1\to 2k+2$，恰好裂成 $\frac{1}{4}(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})$——放缩目标要服务于”能裂项”。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: $S_n$ 二次方程 + 裂项放缩的数列压轴，放缩技巧是 $\frac{1}{k(k+1)}$ 模型的变式。

2. 结论推广: 推广：$\frac{1}{m(m+1)}<\frac{1}{m(m+2)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{m}-\frac{1}{m+2})$ 型放缩，选目标使裂项后恰好 telescoping。

3. 方法推广: 数列不等式标准路线：通项化简 → 选放缩（放大分母/分子）→ 裂项相消 → 收尾比较。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 2014-广东卷理-19 解-由前n项和求通项
• 2014-新课标I卷理-17 解-由 a_n 与 S_n 的关