2014-广东卷理-10 填-切线方程

本题导读

本题考查导数的几何意义。通过对指数函数复合求导，求出曲线在指定点处的切线斜率，然后利用点斜式求出切线方程。

📌【题干】

Question

（2014年广东卷(理)） 曲线 $y=e^{-5x}+2$ 在点 $(0,3)$ 处的切线方程为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求导数：利用复合函数求导法则求出$y^{\prime }$。

2. 求斜率：将切点的横坐标$x=0$代入导函数，求出该点处的切线斜率$k$。

3. 求方程：已知切点坐标$(0,3)$和斜率$k$，利用直线方程的点斜式或斜截式写出方程。

✅【答案】

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$5x+y-3=0$（即 $y=-5x+3$）

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求函数的导数 已知函数$y=e^{-5x}+2$。 根据复合函数求导法则$[e^{f(x)}{]}^{\prime }=e^{f(x)}\cdot f^{\prime }(x)$：

$y^{\prime }=(e^{-5x}+2{)}^{\prime }=e^{-5x}\cdot (-5x{)}^{\prime }+0$

$y^{\prime }=-5e^{-5x}$

第二步：计算切线斜率 将切点$(0,3)$的横坐标$x=0$代入导函数：

$k=y^{\prime }{|}_{x=0}=-5e^{-5\times 0}=-5e^0$

因为$e^0=1$，所以：

$k=-5$

第三步：写出切线方程 已知切线过点 $(0,3)$，斜率为 $-5$，利用直线方程的斜截式 $y=kx+b$：

$y=-5x+3$

$5x+y-3=0$（即 $y=-5x+3$）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：利用导数求曲线在给定点处的切线方程，属导数的几何意义。

2. 核心方法：切线的斜率 $k=y^{\prime }{|}_{x=x_0}$，再配合切点坐标用点斜式（或斜截式）写出方程；复合函数求导要记住 $[e^{f(x)}{]}^{\prime }=e^{f(x)}\cdot f^{\prime }(x)$。

3. 避坑指南：先求导再代切点横坐标，不要直接把切点代入原函数；答案写成 $y=-5x+3$ 或 $5x+y-3=0$ 均可，但要注意符号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 曲线的切线问题源于导数的几何意义，是高考对导数运算与直线方程的双重考查。

2. 结论推广: 曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_0,f(x_0))$ 处的切线方程为 $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$；“过点求切”与“在点求切”不同，前者需设切点并列方程。

3. 方法推广: 求切线只需两步——求导得斜率、代点写方程；指数型复合函数 $e^{ax+b}$ 的导数为 $a{e}^{ax+b}$，是高频考点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2026-新高考I卷-04 单-切线方程
• 2025-新高考I卷-12 填-切线方程(缺思路分析)
• 2013-重庆卷理-17 解-切线方程