2013-重庆卷理-17 解-切线方程

本题导读

本题考查导数的几何意义。核心在于待定系数法、导数运算法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年重庆卷(理)） 设 $f(x)=a(x-5{)}^2+6\ln x$，其中 $a\in \mathbb{R}$.曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线与 $y$ 轴相交于点 $(0,6)$.

(1)确定 $a$ 的值；

(2)求函数 $f(x)$ 的单调区间与极值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（求参数 $a$）：
   • 求导：对 $f(x)$ 求导得到导函数 $f^{\prime }(x)$。
   • 求切线三要素：计算切点横坐标 $x=1$ 时的函数值 $f(1)$（切点）和导数值 $f^{\prime }(1)$（斜率 $k$）。
   • 列方程：写出切线方程，代入点 $(0,6)$，解出 $a$。
2. 第二问（单调性与极值）：
   • 确定定义域：由于含有 $\ln x$，定义域为 $(0,+\infty )$。
   • 研究 $f^{\prime }(x)$ 符号：将 $a$ 值代入 $f^{\prime }(x)$，通分并对分子进行因式分解，寻找令 $f^{\prime }(x)=0$ 的点。
   • 判定区间：通过数轴或列表，分析在不同区间内 $f^{\prime }(x)$ 是正还是负，进而得出单调性及极值。

✅【答案】

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单调区间；极值计算

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）解： 函数 $f(x)=a(x-5{)}^2+6\ln x$。 其导函数为：$f^{\prime }(x)=2a(x-5)+\frac{6}{x}$。

当 $x=1$ 时：

• 切点纵坐标：$f(1)=a(1-5{)}^2+6\ln 1=16a$。
• 切线斜率：$k=f^{\prime }(1)=2a(1-5)+\frac{6}{1}=-8a+6$。

则曲线在点 $(1,16a)$ 处的切线方程为： $y-16a=(-8a+6)(x-1)$

因为该切线过点 $(0,6)$，代入得： $6-16a=(-8a+6)(0-1)$ $6-16a=8a-6$ $24a=12⟹a=\frac{1}{2}$

（Ⅱ）解： 由（Ⅰ）知 $a=\frac{1}{2}$，则 $f(x)=\frac{1}{2}(x-5{)}^2+6\ln x$，其定义域为 $(0,+\infty )$。 导函数为： $f^{\prime }(x)=(x-5)+\frac{6}{x}=\frac{x^2-5x+6}{x}=\frac{(x-2)(x-3)}{x}$

令 $f^{\prime }(x)=0$，解得 $x_1=2$，$x_2=3$。 分析 $f^{\prime }(x)$ 的符号变化如下表：

$x$	$(0,2)$	$2$	$(2,3)$	$3$	$(3,+\infty )$
$f^{\prime }(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$\nearrow$ 单调递增	极大值	$\searrow$ 单调递减	极小值	$\nearrow$ 单调递增

• 单调区间：
  • 单调递增区间为 $(0,2)$ 和 $(3,+\infty )$；
  • 单调递减区间为 $(2,3)$。
• 极值计算：
  • 当 $x=2$ 时，取得极大值：$f(2)=\frac{1}{2}(2-5{)}^2+6\ln 2=\frac{9}{2}+6\ln 2$。
  • 当 $x=3$ 时，取得极小值：$f(3)=\frac{1}{2}(3-5{)}^2+6\ln 3=2+6\ln 3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：见详细解析

核心方法：“导数分析法”。这是研究函数性质的标准程序：求导 $\to$ 求驻点 $\to$ 分段判定符号 $\to$ 得出结论。 2. 易错点：定义域限制。在判定单调区间时，必须时刻牢记 $x>0$。如果忽略此条件，可能会错误地写出 $(-\infty ,2)$ 这种区间。

避坑指南：切线方程代入点时，注意是代入 $(x,y)$ 而不是代入 $a$ 或斜率位置。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：函数图象的凹凸性、导数与不等式的结合证明。

结论推广：若 $f^{\prime }(x)$ 分子不可分解，则需利用二阶导数或根的分布讨论零点存在性。

方法推广：涉及切线过“曲线外一点”的问题，通常设切点坐标，本题给定切点横坐标为 $1$，难度大幅降低。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2026-新高考I卷-04 单-切线方程
• 2025-新高考I卷-12 填-切线方程(缺思路分析)
• 2014-福建卷文-06 单-直线方程