2014-新课标I卷文-22 解-圆内接四边形

本题导读

(1) 圆内接四边形外角等于内对角，配合 $CB=CE$ 得 $\angle D=\angle E$；(2) 由 $M$、$O$ 同时到 $B,C$ 等距得 $OM$ 为 $BC$ 中垂线，结合 $OM\perp AD$ 得 $AD\parallel BC$，算出 $\angle E=60^{\circ }$。

📌【题干】

Question

（2014年新课标I卷(文)） （选修 4-1：几何证明选讲）如图，四边形 $ABCD$ 是 $\odot O$ 的内接四边形，$AB$ 的延长线与 $DC$ 的延长线交于点 $E$，且 $CB=CE$.

(1) 证明：$\angle D=\angle E$；

(2) 设 $AD$ 不是 $\odot O$ 的直径，$AD$ 的中点为 $M$，且 $MB=MC$，证明：$△ADE$ 为等边三角形.

🔍【思路分析】

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(1) 圆内接四边形外角等于内对角，配合 $CB=CE$ 得 $\angle D=\angle E$；(2) 由 $M$、$O$ 同时到 $B,C$ 等距得 $OM$ 为 $BC$ 中垂线，结合 $OM\perp AD$ 得 $AD\parallel BC$，算出 $\angle E=60^{\circ }$。

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✍【详细解析】

Abstract

(1) 四边形 $ABCD$ 内接于圆，$\angle D+\angle ABC=180^{\circ }$；又 $\angle CBE+\angle ABC=180^{\circ }$，故 $\angle D=\angle CBE$。

$CB=CE$，$△CBE$ 为等腰三角形，$\angle CBE=\angle E$，所以 $\angle D=\angle E$。

(2) 连接 $OM$。$M$ 为弦 $AD$ 的中点，由垂径定理 $OM\perp AD$。

$MB=MC$，$M$ 在 $BC$ 的垂直平分线上；$OB=OC$（同圆半径），$O$ 也在 $BC$ 的垂直平分线上，故直线 $OM$ 就是 $BC$ 的垂直平分线，$OM\perp BC$。

$OM\perp AD$ 且 $OM\perp BC$，所以 $AD\parallel BC$。

设 $\angle E=\alpha$。$△CBE$ 中 $CB=CE$，则 $\angle CBE=\alpha$，$\angle BCE=180^{\circ }-2\alpha$，故 $\angle BCD=180^{\circ }-\angle BCE=2\alpha$。

由 $AD\parallel BC$（截线 $DC$），$\angle ADE+\angle BCD=180^{\circ }$（同旁内角），故 $\angle ADE=180^{\circ }-2\alpha$。

由 (1) $\angle ADE=\angle E=\alpha$，得 $\alpha =180^{\circ }-2\alpha$，$\alpha =60^{\circ }$。

于是 $△ADE$ 的三个内角均为 $60^{\circ }$，为等边三角形。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆内接四边形的性质；垂径定理与圆的几何性质

2. 核心方法：对角互补导角；“中点 + 等距 ⟹ 垂直平分线 ⟹ 平行”

3. 避坑指南：“AD 不是直径”不可省：若 AD 是直径，OM 与 AD 重合，中垂线结构退化；证平行靠的是 O、M 两点同时到 B、C 等距。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 圆内接四边形与等边三角形的证明（doc 考点定位：几何证明选讲），2014 年新课标Ⅰ理第 22 题同卷同题。

2. 结论推广: 一般地，圆内接四边形 + 外交点模型：外角 $\angle CBE=\angle D$（圆内接四边形外角等于内对角），配合等腰三角形实现”角的平移”。

3. 方法推广: 圆的证明题三板斧：垂径定理（中点 ⟹ 垂直）、圆周角定理（同弧等角）、圆内接四边形（对角互补 / 外角 = 内对角）。

🔗【关联脉络】

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• 17.07 圆幂定理

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-22 解-圆内接四边形的性质
• 2015-新课标I卷文-22 解-几何证明选讲