2014-新课标II卷理-20 解-椭圆定义

本题导读

本题是解析几何综合题。第一问通过特殊点 $M$ 的坐标建立斜率方程，求解离心率；第二问利用直线在坐标轴上的截距特征，结合向量比例关系确定点 $N$ 的坐标，通过代入法求出椭圆参数 $a,b$。

📌【题干】

Question

（2014年新课标II卷(理)） 设 $F_1,F_2$ 分别是椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$) 的左、右焦点，$M$ 是 $C$ 上一点且 $M{F}_2$ 与 $x$ 轴垂直，直线 $M{F}_1$ 与 $C$ 的另一个交点为 $N$.

(1) 若直线 $MN$ 的斜率为 $\frac{3}{4}$，求 $C$ 的离心率；

(2) 若直线 $MN$ 在 $y$ 轴上的截距为 $2$，且 $|MN|=5|F_{1}N|$，求 $a,b$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：求解离心率
   • 确定 $M$ 点坐标：由于 $M{F}_2\perp x$ 轴，则 $M$ 的横坐标为 $c$。代入椭圆方程求得纵坐标为 $\frac{b^2}{a}$。
   • 计算斜率：利用 $M(c,\frac{b^2}{a})$ 和 $F_1(-c,0)$ 计算直线 $M{F}_1$ 的斜率。
   • 建立 $e$ 的方程：令斜率等于 $\frac{3}{4}$，利用 $b^2=a^2-c^2$ 和 $e=\frac{c}{a}$ 转化为关于 $e$ 的二次方程求解。
2. 第二问：求解方程参数 $a,b$
   • 几何性质转化：原点 $O$ 是 $F_1{F}_2$ 的中点，直线 $M{F}_1$ 与 $y$ 轴交于 $D(0,2)$。由于 $M{F}_2//y$ 轴，可证 $OD$ 是 $△M{F}_1{F}_2$ 的中位线。由此推导出 $M$ 的纵坐标，并得到 $b^2=4a$。
   • 向量关系应用：由 $|MN|=5|F_{1}N|$ 及共线关系，转化为向量比例 $\overrightarrow{M{F}_1}=4\overrightarrow{F_{1}N}$（或类似关系）。
   • 求点 $N$ 坐标：利用定比分点或向量坐标运算，表示出 $N$ 的坐标 $(x_1,y_1)$。
   • 代入求解：将 $N$ 坐标及 $b^2=4a$ 代入椭圆方程，解得 $a,b$ 的具体值。

✅【答案】

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第 (1) 小题：求离心率 $e$；$\frac{1}{2}$；第 (2) 小题：求 $a,b$ 的值；$a=7,b=2\sqrt{7}$

✍【详细解析】

Abstract

第 (1) 小题：求离心率 $e$ 由题意，$M{F}_2\perp x$ 轴，则 $M$ 的横坐标为 $c$。 代入 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 得 $\frac{c^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1⟹y^2=b^2(1-\frac{c^2}{a^2})=\frac{b^4}{a^2}$。 取 $M(c,\frac{b^2}{a})$。又 $F_1(-c,0)$。 直线 $MN$（即直线 $M{F}_1$）的斜率 $k=\frac{\frac{b^2}{a}-0}{c-(-c)}=\frac{b^2}{2ac}$。 已知 $k=\frac{3}{4}$，则： $\frac{b^2}{2ac}=\frac{3}{4}⟹\frac{a^2-c^2}{2ac}=\frac{3}{4}$ 整理得：$2a^2-2c^2=3ac$。 两边同除以 $a^2$：$2-2e^2=3e⟹2e^2+3e-2=0$。 解得 $e=\frac{1}{2}$ 或 $e=-2$（舍去）。 故 $C$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$。

第 (2) 小题：求 $a,b$ 的值 直线 $M{F}_1$ 过 $F_1(-c,0)$ 和 $M(c,\frac{b^2}{a})$。 设直线与 $y$ 轴交点为 $D$。由截距知 $D(0,2)$。 在 $△M{F}_1{F}_2$ 中，$O$ 为 $F_1{F}_2$ 中点，$D$ 在 $M{F}_1$ 上且 $OD//M{F}_2$。 所以 $OD$ 是 $△M{F}_1{F}_2$ 的中位线。 则 $y_M=2y_D=2\times 2=4$。 即 $\frac{b^2}{a}=4⟹b^2=4a$。 此时 $M(c,4)$，$F_1(-c,0)$。 由 $|MN|=5|F_{1}N|$，且 $F_1$ 在线段 $MN$ 上， 可得 $\overrightarrow{M{F}_1}=4\overrightarrow{F_{1}N}$。 设 $N(x_1,y_1)$，则： $(-2c,-4)=4(x_1+c,y_1-0)$ 解得：$x_1=-\frac{3}{2}c$，$y_1=-1$。 将 $N(-\frac{3}{2}c,-1)$ 代入椭圆方程 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$： $\frac{\frac{9}{4}{c}^2}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1⟹\frac{9(a^2-b^2)}{4a^2}+\frac{1}{b^2}=1$ 将 $b^2=4a$ 代入： $\frac{9(a^2-4a)}{4a^2}+\frac{1}{4a}=1$ $\frac{9(a-4)}{4a}+\frac{1}{4a}=1⟹\frac{9a-36+1}{4a}=1$ $9a-35=4a⟹5a=35⟹a=7$。 则 $b^2=4\times 7=28⟹b=2\sqrt{7}$。 故 $a=7,b=2\sqrt{7}$。


💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆的通径、离心率、焦点弦与向量比例。

2. 核心方法：用 $M{F}_2\perp x$ 轴求 $M$ 坐标算斜率求 $e$；用截距与向量比例定 $N$ 坐标代入求 $a,b$。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 椭圆通径、中位线性质与定比分点坐标。

2. 结论推广: 对于所有圆锥曲线，过焦点的弦被焦点分成的两部分 $m,n$ 满足 $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{2}{L}$（$L$ 为通径长）。

3. 方法推广: 面对涉及线段比例的解析几何题，坐标法（向量形式）通常比纯几何法更具普适性。 3. 知识关联: 直线的截距式方程、向量的数乘运算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.06 离心率专题
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 2013-福建卷理-14 填-椭圆定义
• 2013-新课标I卷理-20 解-椭圆定义
• 2013-四川卷理-20 解-椭圆定义