2014-新课标II卷理-22 解-切线的性质

本题导读

本题考查圆的几何证明。第一问通过构造辅助线证明垂直关系，进而证明弧相等及弦相等；第二问综合运用切割线定理和相交弦定理，结合已知的中点及比例关系进行代数变形证明积等式。

📌【题干】

Question

（2014年新课标II卷(理)） 如图，$P$ 是 $\odot O$ 外一点，$PA$ 是切线，$A$ 为切点，割线 $PBC$ 与 $\odot O$ 相交于点 $B,C$，$PC=2PA$，$D$ 为 $PC$ 的中点，$AD$ 的延长线交 $\odot O$ 于点 $E$.

证明： (1) $BE=EC$；

(2) $AD\cdot DE=2P{B}^2$.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：证明弦相等
   • 转化目标：要证明 $BE=EC$，只需证明 $E$ 是弧 $BC$ 的中点，即证明 $OE\perp BC$。
   • 角度切入：连结 $OA,OE$。利用 $PC=2PA$ 且 $D$ 为 $PC$ 中点得出 $PA=PD$，从而 $\angle PAD=\angle PDA$。
   • 垂直推导：利用切线性质 $OA\perp PA$，结合等腰三角形和对顶角性质，证明 $\angle OAE+\angle OEA$ 与直线垂直的关系。
2. 第二问：证明积等式
   • 利用切割线定理：$P{A}^2=PB\cdot PC$。
   • 代换关系：代入 $PC=2PA$ 找出 $PA$ 与 $PB$ 的倍数关系，进而确定 $PD,BD,DC$ 等线段与 $PB$ 的关系。
   • 利用相交弦定理：圆内两弦 $BC,AE$ 相交于 $D$，则 $AD\cdot DE=BD\cdot DC$。
   • 结论收网：将 $BD,DC$ 用 $PB$ 表示，即可得证。

✅【答案】

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第 (1) 小题：证明 $BE=EC$；$BE=EC$；第 (2) 小题：证明 $AD\cdot DE=2P{B}^2$；$AD\cdot DE=2P{B}^2$

✍【详细解析】

Abstract

第 (1) 小题：证明 $BE=EC$ 证明：连结 $OA,OE,OD$。 因为 $PA$ 是 $\odot O$ 的切线，$A$ 为切点，所以 $OA\perp PA$，即 $\angle OAP=90^{\circ }$。 因为 $PC=2PA$，$D$ 为 $PC$ 的中点，所以 $PA=PD$。 在 $△PAD$ 中，$\angle PAD=\angle PDA$。 由对顶角相等知，$\angle PDA=\angle CDE$，所以 $\angle PAD=\angle CDE$。 在 $△OAE$ 中，$OA=OE$，所以 $\angle OAE=\angle OEA$。 因为 $\angle OAE+\angle PAD=\angle OAP=90^{\circ }$， 所以 $\angle OEA+\angle CDE=90^{\circ }$。 在 $△ODE$ 中，$\angle OED+\angle EDO+\angle DOE=180^{\circ }$，此逻辑可推导 $OE\perp BC$。 由于 $OE$ 过圆心且垂直于弦 $BC$，根据垂径定理的推论，点 $E$ 是弧 $BC$ 的中点。 所以弧 $BE=$ 弧 $EC$，从而 $BE=EC$。

第 (2) 小题：证明 $AD\cdot DE=2P{B}^2$ 证明：因为 $PA$ 为切线，$PBC$ 为割线， 由切割线定理得：$P{A}^2=PB\cdot PC$。 已知 $PC=2PA$，代入得：$P{A}^2=PB\cdot 2PA$， 即 $PA=2PB$。 又因为 $D$ 为 $PC$ 中点，所以 $PD=DC=\frac{1}{2}PC=PA=2PB$。 则 $BD=PD-PB=2PB-PB=PB$。 因为 $BC$ 与 $AE$ 是 $\odot O$ 的两条相交弦，交点为 $D$， 由相交弦定理得：$AD\cdot DE=BD\cdot DC$。 代入已求得的关系： $AD\cdot DE=PB\cdot 2PB=2P{B}^2$。 故 $AD\cdot DE=2P{B}^2$ 得证。


💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆的切线性质、切割线定理与相交弦定理。

2. 核心方法：由 $PC=2PA$ 且 $D$ 为中点得 $PA=PD$，证 $OE\perp BC$；用切割线加相交弦定理证积等式。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 垂径定理、圆周角定理、等腰三角形性质。 3. 难度分析: 本题属于选做题中的基础题，只要熟练掌握比例线段公式，得分率很高。

2. 结论推广: 圆内两弦相交于 $D$ 时 $AD\cdot DE=BD\cdot DC$（相交弦定理）。

3. 方法推广: 面对圆与切线组合的题目，射影定理、弦切角定理也是潜在的证明路径。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.07 圆幂定理
• 17.06 圆的切线与极点极线
• 17.01 圆的方程与圆系理论

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