2024-北京卷-11 填-抛物线的性质

本题导读

本题直接考查抛物线的标准方程及其焦点坐标，属于极其基础的公式直接代入题.

📌【题干】

Question

（2024年北京卷）抛物线 $y^2=16x$ 的焦点坐标为 ______ .

🔍【思路分析】

破题导航

1. 观察给定的抛物线方程 $y^2=16x$，确定其对应开口向右的标准方程形式 $y^2=2px(p>0)$。
2. 通过对比一次项系数求出参数 $2p=16⟹p=8$。
3. 利用该标准形式下的焦点坐标公式 $F\left(\frac{p}{2},0\right)$ 直接写出结果。

✅【答案】

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$(4,0)$

✍【详细解析】

Abstract

已知抛物线方程为： $y^2=16x$ 该方程符合抛物线的标准方程： $y^2=2px(p>0)$ 对比一次项系数可得： $2p=16⟹p=8$ 对于开口向右的抛物线 $y^2=2px$，其焦点位于 $x$ 轴正半轴上，焦点坐标公式为 $F\left(\frac{p}{2},0\right)$。 将 $p=8$ 代入公式可得： $\frac{p}{2}=\frac{8}{2}=4$ 所以，该抛物线的焦点坐标为 $(4,0)$。

【答案】：$(4,0)$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线标准方程与其几何要素（焦点、准线）的对应。
2. 核心方法：特征系数对比法。解决抛物线基础题的口诀是：“看一次项定轴，看正负号定开口，系数等于 $2p$”。
3. 避坑指南：

• 忘除以 2：最常见的粗心错误是直接将 $p$ 或者是 $2p$ 当成了焦点坐标的横坐标，误写成 $(8,0)$ 或 $(16,0)$。
• 坐标轴颠倒：由于方程是 $y^2$ 开头，一次项是 $x$，说明焦点在 $x$ 轴上。考场上极易因紧张误写为 $(0,4)$。

📖 【试题探源与推广】

1. 试题探源: 本题源自教材选择性必修第一册第三章《圆锥曲线的方程》中抛物线标准方程的起始概念题，纯粹考查公式的记忆与直接提取。
2. 结论推广: 四种标准抛物线方程的几何性质对齐表（ $p>0$ ）：

• $y^2=2px$ $⟹$ 开口向右，焦点 $F\left(\frac{p}{2},0\right)$，准线 $x=-\frac{p}{2}$。
• $y^2=-2px$ $⟹$ 开口向左，焦点 $F\left(-\frac{p}{2},0\right)$，准线 $x=\frac{p}{2}$。
• $x^2=2py$ $⟹$ 开口向上，焦点 $F\left(0,\frac{p}{2}\right)$，准线 $y=-\frac{p}{2}$。
• $x^2=-2py$ $⟹$ 开口向下，焦点 $F\left(0,\frac{p}{2}\right)$，准线 $y=\frac{p}{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2014-新课标II卷理-10 单-抛物线定义
• 2013-山东卷理-11 单-抛物线性质
• 2008-大纲卷I理-14