2014-江苏卷-12 填-向量数量积

本题导读

本题考查平面向量数量积的综合应用。核心在于选择合适的基底，将未知向量转化为基底向量的线性组合，通过已知数量积建立方程求解。

📌【题干】

Question

（2014年江苏卷） 如图，在平行四边形 $ABCD$ 中，已知 $AB=8,AD=5$，$\overrightarrow{CP}=3\overrightarrow{PD}$，$\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{BP}=2$，则 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}$ 的值是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 选取基底：由于题目给出的是平行四边形，且已知 $AB$ 和 $AD$ 的模，选择 $\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{AD}$ 作为基底向量。
2. 向量表示：
   • 利用 $\overrightarrow{CP}=3\overrightarrow{PD}$ 确定点 $P$ 在 $CD$ 上的位置，将 $\overrightarrow{DP}$ 用 $\overrightarrow{DC}$ 表示。
   • 将 $\overrightarrow{AP}$ 和 $\overrightarrow{BP}$ 分别用基底 $\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{AD}$ 表示。
3. 建立方程：利用数量积公式 $\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{BP}=2$ 进行展开。
4. 求解未知量：代入已知模长 $|\overrightarrow{AB}|=8$ 和 $|\overrightarrow{AD}|=5$，解出 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}$ 的值。

✅【答案】

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$22$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：表示相关向量 在平行四边形 $ABCD$ 中，$\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$。 因为 $\overrightarrow{CP}=3\overrightarrow{PD}$，且 $P$ 在 $CD$ 上， 所以 $\overrightarrow{DP}=\frac{1}{4}\overrightarrow{DC}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$。 由此可得： $\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DP}=\overrightarrow{AD}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$ $\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{AD}-\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}$

第二步：进行数量积运算 已知 $\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{BP}=2$，代入上述表达式： $\left(\overrightarrow{AD}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}\right)\cdot \left(\overrightarrow{AD}-\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}\right)=2$ 根据分配律展开： ${\overrightarrow{AD}}^2-\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}-\frac{3}{16}{\overrightarrow{AB}}^2=2$ 整理合并同类项： $|\overrightarrow{AD}{|}^2-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}-\frac{3}{16}|\overrightarrow{AB}{|}^2=2$

第三步：代入模长求解 已知 $|\overrightarrow{AB}|=8,|\overrightarrow{AD}|=5$，代入上式： $5^2-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}-\frac{3}{16}\times 8^2=2$ $25-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}-12=2$ $13-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=2$ $\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=11$ $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=22$

故答案为 $22$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量的线性运算及数量积的运算性质。

2. 核心方法：基底法。在几何图形中，将所有向量“归宗”到一组互不平行的基向量上，是解决此类问题的万能钥匙。

3. 避坑指南：注意 $\overrightarrow{CP}=3\overrightarrow{PD}$ 时，向量的方向关系。应仔细观察图中点 $P$ 的位置，确保 $\overrightarrow{DP}$ 与 $\overrightarrow{DC}$ 同向。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 向量的线性运算及数量积的运算性质。

2. 结论推广: 若本题求两邻边夹角 $\theta$，则可通过 $\cos \theta =\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AD}|}=\frac{22}{40}$ 进一步求得。

3. 方法推广: 坐标法。可以 $A$ 为原点建立斜坐标系或直角坐标系求解，但在平行四边形中基底法通常更为简便。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.02 平面向量的线性运算
• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2024-新高考II卷-03 单-向量数量积
• 2015-湖北卷文-11 填-向量数量积
• 2015-浙江卷文-13 填-向量数量积