2014-江西卷文-12 填-向量模

本题导读

把 $|\mathbf{a}{|}^2$ 展开为 $9|{\mathbf{e}}_1{|}^2-12{\mathbf{e}}_1\cdot {\mathbf{e}}_2+4|{\mathbf{e}}_2{|}^2$，再代入夹角余弦。

📌【题干】

Question

（2014年江西卷(文)） 已知单位向量 ${\mathbf{e}}_1$ 与 ${\mathbf{e}}_2$ 的夹角为 $\alpha$，且 $\cos \alpha =\frac{1}{3}$，向量 $\mathbf{a}=3{\mathbf{e}}_1-2{\mathbf{e}}_2$，则 $|\mathbf{a}|=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

${\mathbf{e}}_1$，${\mathbf{e}}_2$ 均为单位向量，${\mathbf{e}}_1\cdot {\mathbf{e}}_2=\cos \alpha =\frac{1}{3}$。

✅【答案】

点击查看答案

$3$

✍【详细解析】

Abstract

因为 ${\mathbf{e}}_1$，${\mathbf{e}}_2$ 是单位向量且夹角余弦为 $\frac{1}{3}$，所以 $|\mathbf{a}{|}^2=(3{\mathbf{e}}_1-2{\mathbf{e}}_2{)}^2=9|{\mathbf{e}}_1{|}^2-12{\mathbf{e}}_1\cdot {\mathbf{e}}_2+4|{\mathbf{e}}_2{|}^2=9-12\times \frac{1}{3}+4=9$。 故 $|\mathbf{a}|=3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量的数量积与模

2. 核心方法：先平方后开方

3. 避坑指南：$|\mathbf{a}{|}^2=\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}$，展开时交叉项为 $-12{\mathbf{e}}_1\cdot {\mathbf{e}}_2$，符号容易出错；本题中 ${\mathbf{e}}_1\cdot {\mathbf{e}}_2=\cos \alpha =\frac{1}{3}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 用数量积求向量的模。

2. 结论推广: 对单位向量 ${\mathbf{e}}_1$，${\mathbf{e}}_2$ 有 $|k{\mathbf{e}}_1+m{\mathbf{e}}_2{|}^2=k^2+m^2+2km\cos \alpha$。

3. 方法推广: 凡涉及向量的模，先把模平方化为数量积运算，最后再开方，可避免在根号内配方。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2014-江西卷理-15 填-数量积定义与性质
• 2014-新课标I卷理-15 填-向量的加法与数乘