2014-江西卷理-15 填-数量积定义与性质

本题导读

本题考查平面向量数量积的综合应用。核心在于利用基底向量 $\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}$ 的模及夹角余弦值，通过向量运算分配律分别求出向量的模与数量积，最后代入夹角公式求解。

📌【题干】

Question

（2014年江西卷(理)） 已知单位向量 $\overrightarrow{e_1}$ 与 $\overrightarrow{e_2}$ 的夹角为 $\alpha$，且 $\cos \alpha =\frac{1}{3}$，向量 $\vec{a}=3\overrightarrow{e_1}-2\overrightarrow{e_2}$ 与 $\vec{b}=3\overrightarrow{e_1}-\overrightarrow{e_2}$ 的夹角为 $\beta$，则 $\cos \beta =$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 明确基底性质：$\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}$ 为单位向量，则 $|\overrightarrow{e_1}|=|\overrightarrow{e_2}|=1$，且 $\overrightarrow{e_1}\cdot \overrightarrow{e_2}=|\overrightarrow{e_1}||\overrightarrow{e_2}|\cos \alpha =\frac{1}{3}$。
2. 计算向量的模：利用公式 $|\vec{v}{|}^2={\vec{v}}^2$ 分别求出 $|\vec{a}|$ 和 $|\vec{b}|$。
3. 计算数量积：利用向量数量积的分配律求出 $\vec{a}\cdot \vec{b}$。
4. 求夹角余弦：利用公式 $\cos \beta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$ 得出结果。

✅【答案】

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$\frac{2\sqrt{2}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：计算基底的数量积 由题意，$\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}$ 是单位向量，且夹角余弦值为 $\frac{1}{3}$： ${\overrightarrow{e_1}}^2=1,{\overrightarrow{e_2}}^2=1,\overrightarrow{e_1}\cdot \overrightarrow{e_2}=1\times 1\times \frac{1}{3}=\frac{1}{3}$

第二步：计算向量 $\vec{a},\vec{b}$ 的模 $|\vec{a}{|}^2=(3\overrightarrow{e_1}-2\overrightarrow{e_2}{)}^2=9{\overrightarrow{e_1}}^2+4{\overrightarrow{e_2}}^2-12\overrightarrow{e_1}\cdot \overrightarrow{e_2}=9(1)+4(1)-12(\frac{1}{3})=13-4=9$ 故 $|\vec{a}|=3$。 $|\vec{b}{|}^2=(3\overrightarrow{e_1}-\overrightarrow{e_2}{)}^2=9{\overrightarrow{e_1}}^2+{\overrightarrow{e_2}}^2-6\overrightarrow{e_1}\cdot \overrightarrow{e_2}=9(1)+1(1)-6(\frac{1}{3})=10-2=8$ 故 $|\vec{b}|=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。

第三步：计算 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ $\vec{a}\cdot \vec{b}=(3\overrightarrow{e_1}-2\overrightarrow{e_2})\cdot (3\overrightarrow{e_1}-\overrightarrow{e_2})=9{\overrightarrow{e_1}}^2-3\overrightarrow{e_1}\cdot \overrightarrow{e_2}-6\overrightarrow{e_2}\cdot \overrightarrow{e_1}+2{\overrightarrow{e_2}}^2$ $\vec{a}\cdot \vec{b}=9(1)-9(\frac{1}{3})+2(1)=9-3+2=8$

第四步：求 $\cos \beta$ $\cos \beta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{8}{3\times 2\sqrt{2}}=\frac{4}{3\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{3\times 2}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$

【答案】 $\frac{2\sqrt{2}}{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量数量积的定义及运算律。

2. 核心方法：化归思想。将未知向量的运算全部化归为已知基底 $\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}$ 的模与数量积的运算。

3. 避坑指南：在展开 $(3\overrightarrow{e_1}-2\overrightarrow{e_2}{)}^2$ 时，中间项 $-12\overrightarrow{e_1}\cdot \overrightarrow{e_2}$ 的系数经常被漏算或错算。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 正弦定理在向量中的应用、向量投影的概念。

2. 结论推广: 若 $\vec{a},\vec{b}$ 垂直，则 $\vec{a}\cdot \vec{b}=0$。

3. 方法推广: 涉及向量长度、夹角的问题，平方（$|\vec{a}{|}^2={\vec{a}}^2$）是打破僵局的常用手段。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2026-新高考II卷-03 单-数量积
• 2026-天津卷-14 填-数量积
• 2023-新高考I卷-03 单-数量积