2014-江西卷文-21 解-计数概率

本题导读

(1) 数出 $1$ 到 $100$ 中数字 $0$ 的个数与总位数；(2) 按 $1$ 位、$2$ 位、$3$ 位、$4$ 位分段求 $F(n)$；(3) 先按十位数字是否为 $9$ 求 $S$，再比较各 $n$ 对应的 $p(n)$。

📌【题干】

Question

（2014年江西卷(文)） 将连续正整数 $1$，$2$，$\cdots$，$n$（$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$）从小到大排列构成一个数 $123\cdots n$，$F(n)$ 为这个数的位数（如 $n=12$ 时，此数为 $123456789101112$，共有 $15$ 个数字，$F(12)=15$），现从这个数中随机取一个数字，$p(n)$ 为恰好取到 $0$ 的概率.

(1) 求 $p(100)$；

(2) 当 $n⩽2014$ 时，求 $F(n)$ 的表达式；

(3) 令 $g(n)$ 为这个数中数字 $0$ 的个数，$f(n)$ 为这个数中数字 $9$ 的个数，$h(n)=f(n)-g(n)$，$S=\{n\mid h(n)=1,n⩽100,n\in {\mathbf{N}}^{\ast }\}$，求当 $n\in S$ 时 $p(n)$ 的最大值.

🔍【思路分析】

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(1) 分别数数字 $0$ 的个数与总位数；(2) 按数位分段；(3) 求 $S$ 时要比较十位与个位上 $0$、$9$ 的累计次数。

✅【答案】

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(1) $\frac{11}{192}$；(2) $F(n)=\{\begin{array}{ll}n,& 1⩽n⩽9,\\ 2n-9,& 10⩽n⩽99,\\ 3n-108,& 100⩽n⩽999,\\ 4n-1107,& 1000⩽n⩽2014;\end{array}$；(3) $\frac{1}{19}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 在 $1$ 到 $100$ 连成的数中，数字 $0$ 出现在 $10$，$20$，$\cdots$，$90$ 中各一次，在 $100$ 中出现两次，故共 $9+2=11$ 个。 又 $F(100)=9+90\times 2+3=192$，所以 $p(100)=\frac{11}{192}$。 (2) 分段计数： 当 $1⩽n⩽9$ 时全是 $1$ 位数，$F(n)=n$； 当 $10⩽n⩽99$ 时，前面已有 $9$ 个 $1$ 位数与 $n-9$ 个 $2$ 位数，$F(n)=9+2(n-9)=2n-9$； 当 $100⩽n⩽999$ 时，$F(n)=9+90\times 2+3(n-99)=189+3(n-99)=3n-108$； 当 $1000⩽n⩽2014$ 时，$F(n)=9+90\times 2+900\times 3+4(n-999)=2889+4(n-999)=4n-1107$。 (3) 先求 $S$。当 $1⩽n⩽9$ 时，只有 $n=9$ 使 $h(n)=1$。 对 $10⩽n⩽99$，写 $n=10k+r$（$1⩽k⩽9$，$0⩽r⩽9$）。从 $10$ 到 $10k-1$ 的每个完整十位组中，个位上的 $0$ 与 $9$ 各出现一次、相互抵消，故只需考察当前一组： 当 $k⩽8$ 时，十位数字不是 $9$，于是 $h(10k+r)=0$（$0⩽r⩽8$），而 $h(10k+9)=1$； 当 $k=9$ 时，数字 $9$ 作为十位数字已出现 $r+1$ 次，故 $h(90+r)=r+1$（$0⩽r⩽8$）。 于是 $S=\{9,19,29,39,49,59,69,79,89,90\}$。 对 $n=10k+9$（$1⩽k⩽8$），数字 $0$ 恰出现在 $10$，$20$，$\cdots$，$10k$ 中，故 $g(n)=k$，$F(n)=2n-9=20k+9$，从而 $p(n)=\frac{k}{20k+9}$。 因为 $\frac{k+1}{20k+29}-\frac{k}{20k+9}=\frac{9}{(20k+29)(20k+9)}>0$，所以这些数中 $p(n)$ 的最大值为 $p(89)=\frac{8}{169}$。 对 $n=90$：$g(90)=9$，$F(90)=171$，$p(90)=\frac{9}{171}=\frac{1}{19}$；而 $p(9)=0$。 因为 $\frac{1}{19}>\frac{8}{169}$，所以当 $n\in S$ 时 $p(n)$ 的最大值为 $\frac{1}{19}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：计数原理与古典概型的综合

2. 核心方法：分段计数 + 概率比较

3. 避坑指南：(3) 的难点在求集合 $S$：要按十位数字是否为 $9$ 分类统计 $h(n)=f(n)-g(n)$；比较 $p(n)$ 的大小时用作差法判断单调性，不要只试几个值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 数位计数与概率的综合问题。

2. 结论推广: $F(n)$ 的分段表达式来自「位数等于各数位段长度之和」：$1$ 至 $9$ 各占 $1$ 位，$10$ 至 $99$ 各占 $2$ 位，依此类推。

3. 方法推广: 数位计数题的通法是「按数位分段 + 每段内按位置分类」，把整体问题拆成互不重叠的小段再相加。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合
• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2014-江西卷理-22 解-离散型随机变量
• 2014-江西卷理-13 填-古典概型