2014-江西卷理-13 填-古典概型

本题导读

本题考查古典概型概率的计算。核心在于利用组合数准确计算出基本事件的总数以及目标事件包含的基本事件数，进而求得概率。

📌【题干】

Question

（2014年江西卷(理)） 10 件产品中有 7 件正品，3 件次品，从中任取 4 件，则恰好取到 1 件次品的概率是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定总基本事件数：计算从 10 件产品中任取 4 件的组合数 $C_{10}^4$。
2. 确定目标事件数：恰好取到 1 件次品，意味着剩下的 3 件必须从 7 件正品中取出。利用分步计数原理，计算为 $C_3^1\times C_7^3$。
3. 计算概率：利用古典概型公式 $P(A)=\frac{m}{n}$ 求解。

✅【答案】

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$\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：计算总取法数 从 10 件产品中随机抽取 4 件的所有基本事件数为： $C_{10}^4=\frac{10\times 9\times 8\times 7}{4\times 3\times 2\times 1}=210$

第二步：计算满足条件的取法数 “恰好取到 1 件次品”意味着从 3 件次品中取 1 件，且从 7 件正品中取 3 件。 根据分步计数原理，目标事件的基本事件数为： $m=C_3^1\times C_7^3=3\times \frac{7\times 6\times 5}{3\times 2\times 1}=3\times 35=105$

第三步：计算概率 $P=\frac{m}{n}=\frac{105}{210}=\frac{1}{2}$

【答案】 $\frac{1}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：古典概型的基本定义。要求学生能够熟练运用组合数处理“不放回抽取”的问题。

2. 核心方法：分步计数原理。在计算分子时，务必保证抽取的总件数（$1+3=4$）与题目要求一致。

3. 避坑指南：计算组合数时要细心，避免约分出错。同时要注意区分“恰好 1 件”与“至少 1 件”的区别。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 互斥事件的概率加法公式、独立重复试验。

2. 结论推广: 此类问题属于超几何分布的背景，其概率模型为 $P(X=k)=\frac{C_M^k{C}_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}$。

3. 方法推广: 遇到“至少”或“至多”类概率问题，通常考虑使用对立事件简化计算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合
• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2015-新课标I卷文-04 单-古典概型
• 2015-广东卷文-07 单-古典概型
• 2015-山东卷文-16 解-古典概型