2014-江西卷理-08 单-定积分

本题导读

本题考查定积分的基本概念与计算。核心考点在于理解“定积分是一个常数”，通过设常数将函数式转化为含参形式，再利用积分定义建立方程求解。

📌【题干】

Question

（2014年江西卷(理)） 若 $f(x)=x^2+2{\int }_0^{1}f(x)dx$，则 ${\int }_0^{1}f(x)dx=$ ()

A. $-1$　　　　　　　B. $-\frac{1}{3}$　　　　　　　C. $\frac{1}{3}$　　　　　　　D. $1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解定积分的本质：在积分上下限确定的情况下，${\int }_0^{1}f(x)dx$ 的结果是一个常数，而不是关于 $x$ 的函数。
2. 设常数：设 ${\int }_0^{1}f(x)dx=m$，则原函数式可以改写为 $f(x)=x^2+2m$。
3. 建立方程：将含 $m$ 的解析式代入积分式 ${\int }_0^{1}f(x)dx=m$ 中。
4. 求解积分：利用牛顿-莱布尼茨公式完成积分计算，解出 $m$ 的值。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：设常数 令 ${\int }_0^{1}f(x)dx=m$ ($m$ 为常数)。 则原函数解析式为：$f(x)=x^2+2m$。

第二步：代入并计算定积分 根据积分的定义及牛顿-莱布尼茨公式： $m={\int }_0^1(x^2+2m)dx$ $m={\left[\frac{1}{3}{x}^3+2mx\right]}_0^1$ $m=\left(\frac{1}{3}\cdot 1^3+2m\cdot 1\right)-(0+0)$ $m=\frac{1}{3}+2m$

第三步：求解方程 由 $m=\frac{1}{3}+2m$ 得： $m-2m=\frac{1}{3}$ $-m=\frac{1}{3}⟹m=-\frac{1}{3}$。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：定积分的数值属性。很多同学看到函数里包含积分号会感到无从下手，关键是意识到它只是一个待确定的常数。

2. 核心方法：待定系数法。将积分式整体设为一个字母，从而消除循环引用的迷惑性。

3. 避坑指南：注意 $f(x)$ 表达式中 $2$ 的位置，计算时不要遗漏系数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 基本初等函数的原函数公式、定积分的几何意义（面积）。

2. 结论推广: 对于 $f(x)=g(x)+{\int }_a^{b}f(t)dt$ 类型的题目，统一采用设常数的方法解决。

3. 方法推广: 如果积分上限是变量（如 ${\int }_0^{x}f(t)dt$），则属于变限积分函数，通常采用求导法处理。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

• 2013-福建卷理-15 填-定积分
• 2013-江西卷理-06 单-定积分
• 2013-湖南卷理-12 填-定积分运算