2013-湖南卷理-12 填-定积分运算

本题导读

本题考查定积分，以及定积分的基本运算。

📌【题干】

Question

（2013年湖南卷(理)） 若 ${\int }_0^T{x}^{2}dx=9$，则常数 $T$ 的值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 确定原函数：寻找被积函数 $f(x)=x^2$ 的一个原函数 $F(x)$。根据幂函数的积分公式 $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$，可知其原函数为 $F(x)=\frac{1}{3}{x}^3$。
2. 运用牛顿-莱布尼茨公式： ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$ 代入本题的上下限 $0$ 和 $T$。
3. 列方程求解：将计算出的定积分表达式令其等于 $9$，解出 $T$。

✅【答案】

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3

✍【详细解析】

Abstract

第一步：计算定积分表达式 根据微积分基本定理： ${\int }_0^T{x}^{2}dx={\left[\frac{1}{3}{x}^3\right]}_0^T$

第二步：代入上下限进行求值 ${\left[\frac{1}{3}{x}^3\right]}_0^T=\frac{1}{3}{T}^3-\frac{1}{3}(0{)}^3=\frac{1}{3}{T}^3$

第三步：建立并解方程 已知定积分的值为 $9$，则： $\frac{1}{3}{T}^3=9$ 两边同时乘以 $3$： $T^3=27$ 由于 $27=3^3$，解得： $T=3$

故答案为：3。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：见详细解析

核心方法：见详细解析

避坑指南：计算过程中注意系数 $\frac{1}{3}$ 不要漏掉。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：见详细解析

结论推广：对于更一般的形式 ${\int }_0^T{x}^{n}dx=k$，则 $T=\sqrt[n+1]{k(n+1)}$。 5. 几何意义: 该定积分代表曲线 $y=x^2$ 与 $x$ 轴及直线 $x=T$ 所围成的曲边梯形的面积。

方法推广：见详细解析

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2015-山东卷文-14 填-新定义运算
• 2013-浙江卷文-10 单-新定义运算