2014-江西卷理-10 单-坐标表示

本题导读

本题是立体几何的压轴题，考查质点在长方体内的反射路径。核心在于将空间反射路径通过对称变换转化为长方体堆叠后的直线路径，进而比较各段线段长度的大小关系。

📌【题干】

Question

（2014年江西卷(理)）如右图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 11, A D = 7, A A_{1} = 12$ .一质点从顶点 $A$ 射向点 $E (4, 3, 12)$ ，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理）.将第 $i - 1$ 次到第 $i$ 次反射点之间的线段记为 $L_{i}$ ( $i = 2, 3, 4$ )， $L_{1} = A E$ .将线段 $L_{1}, L_{2}, L_{3}, L_{4}$ 竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是()

🔍【思路分析】

破题导航

理解反射规律：反射原理意味着入射角等于反射角。在长方体中，反射相当于将质点路径“镜像”到相邻的一个完全相同的长方体中。

空间对称展开：将质点 $A \to E$ 的射线看作是一条直线。每当直线触碰到墙壁时，我们就翻转长方体，使直线继续沿原方向延伸。

坐标规律：

质点初速度方向向量为 $v = (4, 3, 12)$ 。

$L_{1}$ 为起始段，终止于顶面 $z = 12$ 的 $E$ 点。

质点在空间直线的参数方程为 $x = 4 t, y = 3 t, z = 12 t$ 。

每段 $L_{i}$ 的长度 $d_{i} = (Δ x_{i})^{2} + (Δ y_{i})^{2} + (Δ z_{i})^{2} = t_{i} \cdot 4^{2} + 3^{2} + 1 2^{2} = 13 t_{i}$ 。

线段长短仅取决于该段在 $x, y, z$ 方向上分量增量的比例。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定路径坐标特征质点初射向量 $v = (4, 3, 12)$ 。由于 $A A_{1} = 12$ ， $z$ 坐标每增加 $12$ 发生一次关于水平面的反射；由于 $A B = 11$ ， $x$ 坐标每增加 $11$ 发生一次关于侧面 $A B B_{1} A_{1}$ 的反射；由于 $A D = 7$ ， $y$ 坐标每增加 $7$ 发生一次关于侧面 $A D D_{1} A_{1}$ 的反射。

第二步：分析各反射点位置我们看直线 $x = 4 t, y = 3 t, z = 12 t$ 触碰边界的时间点：

$t_{1} = 1$ ： $z = 12, x = 4, y = 3$ 。质点到达 $E$ 点。此时完成 $L_{1} = A E$ ， $L_{1}$ 对应 $t$ 增量为 $1$ 。

触碰 $x$ 墙： $4 t = 11, 22, ... ⟹ t = 2.75, 5.5, ...$

触碰 $y$ 墙： $3 t = 7, 14, ... ⟹ t = 2.33, 4.67, ...$

触碰 $z$ 墙： $12 t = 12, 24, ... ⟹ t = 1, 2, 3, ...$

第三步：排序各阶段 $t$ 增量

第一次触碰： $t = 1$ (端点 $E$ ，属于顶面反射)， $L_{1}$ 对应的 $t$ 增量 $Δ t_{1} = 1$ 。

第二次触碰：由于 $1 < 2 < 2.33 < 2.75$ ，下一个触碰点是 $t = 2$ （底面反射）。故 $L_{2}$ 对应的 $t$ 增量 $Δ t_{2} = 2 - 1 = 1$ 。此时 $L_{1} = L_{2}$ 。

第三次触碰：比较 $2.33$ (y侧面) 和 $2.75$ (x侧面) 以及 $3$ (顶面)。最小的是 $t = 2.33$ 。故 $L_{3}$ 对应的 $t$ 增量 $Δ t_{3} = 2.33 - 2 = 0.33$ 。

第四次触碰：比较 $2.75$ (x侧面) 和 $3$ (顶面)。最小的是 $t = 2.75$ 。故 $L_{4}$ 对应的 $t$ 增量 $Δ t_{4} = 2.75 - 2.33 = 0.42$ 。

第四步：长度对比 $L_{i}$ 的长度正比于 $Δ t_{i}$ ：

$L_{1} = L_{2}$ (对应 $Δ t = 1$ )

$L_{3}$ 最短 (对应 $Δ t = 0.33$ )

$L_{4}$ 比 $L_{3}$ 略长 (对应 $Δ t = 0.42$ )

对比选项图形，图形应呈现：前两根等高，后两根显著变短且最后一根比倒数第二根略高。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：反射原理在长方体中的空间展开应用。

核心方法：坐标参数化法。将复杂的反射运动转化为简单的一维时间（参数 $t$ ）轴上的点分布。

避坑指南：不要尝试在脑海中死记硬背三维反射路径，利用坐标分量的倍数关系确定碰撞顺序是最高效的方法。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 二维台球碰撞模型（全等变换应用）。

结论推广: 在长方体中，若发射方向向量与各边长成整数比，质点最终会回到顶点。

方法推广: 物理中的波导、光纤反射模型常采用此“对称翻转”法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

09.04 平面向量的坐标运算

21.02 空间向量与线面位置关系判定

16.05 对称性问题

类题演练 (Links)

2013-天津卷理-17 解-坐标表示

2014-广东卷文-14 填-极坐标

∑ ( Math )

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2014-江西卷理-10 单-坐标表示

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💡【考点归纳与避坑指南】

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