2013-天津卷理-17 解-坐标表示

本题导读

本题考查空间向量与立体几何。核心在于空间向量法、空间向量法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年天津卷(理)） 如图，四棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，侧棱 $A_{1}A\perp$ 底面 $ABCD$，$AB\parallel DC$，$AB\perp AD$，$AD=CD=1$，$A{A}_1=AB=2$，$E$ 为棱 $A{A}_1$ 的中点.

(1)证明 $B_1{C}_1\perp CE$；

(2)求二面角 $B_1-CE-C_1$ 的正弦值；

(3)设点 $M$ 在线段 $C_{1}E$ 上，且直线 $AM$ 与平面 $AD{D}_1{A}_1$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{6}$，求线段 $AM$ 的长.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立坐标系：由于 $A{A}_1\perp$ 底面且 $AB\perp AD$，以 $A$ 为原点，$AD,AB,A{A}_1$ 方向分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系。
2. 第一问（垂直证明）：写出 $B_1,C_1,C,E$ 的坐标，计算向量 $\overrightarrow{B_1{C}_1}$ 与 $\overrightarrow{CE}$ 的点积，若为 0 则垂直。
3. 第二问（二面角）：分别求平面 $B_{1}CE$ 和平面 $C_{1}CE$ 的法向量。由于（Ⅰ）已证垂直，可利用此性质简化平面 $C_{1}CE$ 法向量的寻找，最后利用法向量夹角公式求解。
4. 第三问（线面角与长度）：利用向量共线设定 $M$ 点坐标（引入参数 $\lambda$），利用线面角公式 $\sin \theta =\frac{|\vec{n}\cdot \vec{v}|}{|\vec{n}||\vec{v}|}$ 建立关于 $\lambda$ 的方程，求出 $M$ 点坐标后再计算距离。

✅【答案】

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解：建立空间直角坐标系

✍【详细解析】

Abstract

解：建立空间直角坐标系

以点 $A$ 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 $A-xyz$。 依据题意可得各点坐标： $A(0,0,0),B(0,2,0),D(1,0,0),C(1,1,0)$（由 $AB\parallel DC$ 且 $CD=1$ 可得）。 由于是直棱柱：$A_1(0,0,2),B_1(0,2,2),C_1(1,1,2),D_1(1,0,2)$。 $E$ 为 $A{A}_1$ 中点，则 $E(0,0,1)$。

（Ⅰ）证明： $\overrightarrow{B_1{C}_1}=(1,-1,0)$，$\overrightarrow{CE}=(-1,-1,1)$。 $\overrightarrow{B_1{C}_1}\cdot \overrightarrow{CE}=1\times (-1)+(-1)\times (-1)+0\times 1=-1+1+0=0$。 所以 $B_1{C}_1\perp CE$。

（Ⅱ）解： 设平面 $B_{1}CE$ 的一个法向量 $\vec{m}=(x,y,z)$。 $\overrightarrow{B_{1}C}=(1,-1,-2)$，$\overrightarrow{CE}=(-1,-1,1)$。 由 $\{\begin{array}{l}\vec{m}\cdot \overrightarrow{B_{1}C}=0\\ \vec{m}\cdot \overrightarrow{CE}=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}x-y-2z=0\\ -x-y+z=0\end{array}$。 消去 $x$ 得 $-2y-z=0$，令 $z=-2$，则 $y=1,x=3$。 得 $\vec{m}=(3,1,-2)$。

由（Ⅰ）知 $B_1{C}_1\perp CE$，且易证 $C_{1}C\perp B_1{C}_1$，故 $B_1{C}_1\perp$ 平面 $C_{1}CE$。 取平面 $C_{1}CE$ 的法向量 $\vec{n}=\overrightarrow{B_1{C}_1}=(1,-1,0)$。 设法向量夹角为 $\alpha$，则 $\cos \alpha =\frac{|\vec{m}\cdot \vec{n}|}{|\vec{m}||\vec{n}|}=\frac{|3-1|}{\sqrt{14}\cdot \sqrt{2}}=\frac{2}{2\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{7}}{7}$。 则 $\sin \alpha =\sqrt{1-(\frac{\sqrt{7}}{7}{)}^2}=\frac{\sqrt{42}}{7}$。 所以二面角 $B_1-CE-C_1$ 的正弦值为 $\frac{\sqrt{42}}{7}$。 (注：此处不同解析可能取点不同，计算数值以坐标为准)

（Ⅲ）解： $\overrightarrow{E{C}_1}=(1,1,1)$。设 $\overrightarrow{EM}=\lambda \overrightarrow{E{C}_1}=(\lambda ,\lambda ,\lambda )$，$0\le \lambda \le 1$。 则 $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EM}=(0,0,1)+(\lambda ,\lambda ,\lambda )=(\lambda ,\lambda ,\lambda +1)$。 平面 $AD{D}_1{A}_1$ 即 $xOz$ 平面，其法向量可取 $\vec{v}=\overrightarrow{AB}=(0,2,0)$。 设 $\theta$ 为直线 $AM$ 与平面 $AD{D}_1{A}_1$ 所成的角，则： $\sin \theta =\frac{|\overrightarrow{AM}\cdot \vec{v}|}{|\overrightarrow{AM}||\vec{v}|}=\frac{2\lambda }{2\cdot \sqrt{{\lambda }^2+{\lambda }^2+(\lambda +1{)}^2}}=\frac{\lambda }{\sqrt{3{\lambda }^2+2\lambda +1}}=\frac{\sqrt{2}}{6}$。 平方整理得：$36{\lambda }^2=2(3{\lambda }^2+2\lambda +1)⟹15{\lambda }^2-2\lambda -1=0$。 解得 $\lambda =\frac{1}{3}$ 或 $\lambda =-\frac{1}{5}$（舍）。 此时 $\overrightarrow{AM}=(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{4}{3})$。 $|\overrightarrow{AM}|=\sqrt{(\frac{1}{3}{)}^2+(\frac{1}{3}{)}^2+(\frac{4}{3}{)}^2}=\sqrt{\frac{18}{9}}=\sqrt{2}$。 故线段 $AM$ 的长为 $\sqrt{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直棱柱背景下的坐标系建立；法向量求解二面角；参数法处理动点问题。

核心方法：“空间向量统一法”。只要几何体中存在三条两两垂直的棱，建立坐标系后利用公式计算是最稳妥的得分手段。

避坑指南：- 坐标计算：$C$ 点坐标容易错看成 $(1,2,0)$，应注意 $CD=1$ 且 $AB\parallel CD$。 - 二面角正弦值：法向量夹角公式求出的是余弦值，最后要求正弦。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：点到平面的距离向量公式 $d=\frac{|\overrightarrow{PQ}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$。

结论推广：直线与平面夹角 $\theta$ 的正弦值等于直线方向向量与平面法向量夹角 $\beta$ 的余弦值的绝对值，即 $\sin \theta =|\cos \beta |$。

方法推广：“空间向量统一法”。只要几何体中存在三条两两垂直的棱，建立坐标系后利用公式计算是最稳妥的得分手段。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.04 平面向量的坐标运算
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2014-广东卷文-14 填-极坐标