2014-江西卷理-20 解-空间垂直判定

本题导读

本题是一道典型的立体几何综合大题。第一问考查面面垂直性质定理的应用；第二问通过几何关系建立体积关于边长的函数，利用二次函数性质求最值，并结合空间向量坐标运算求解二面角。

📌【题干】

Question

（2014年江西卷(理)） 如图，四棱锥 $P-ABCD$ 中，$ABCD$ 为矩形，平面 $PAD\perp$ 平面 $ABCD$.

(1) 求证：$AB\perp PD$；

(2) 若 $\angle BPC=90^{\circ },PB=\sqrt{2},PC=2$，问 $AB$ 为何值时，四棱锥 $P-ABCD$ 的体积最大？并求此时平面 $PBC$ 与平面 $DPC$ 夹角的余弦值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问证垂直：利用面面垂直性质定理，先证 $AB$ 垂直于交线所在的平面。已知矩形中 $AB\perp AD$，而 $AD$ 是平面 $PAD$ 与平面 $ABCD$ 的交线。
2. 第二问求最值：
   • 定高：过 $P$ 作 $PO\perp AD$ 于 $O$，则 $PO$ 即为棱锥的高。
   • 建系/求边长：在 $Rt△BPC$ 中求出 $BC=\sqrt{P{B}^2+P{C}^2}=\sqrt{6}$。设 $AB=m$，通过几何关系表示出 $PO$ 及体积 $V(m)$。
   • 求极值：利用二次函数或均值不等式确定 $V$ 最大时 $m$ 的值。
3. 第二问求夹角：在体积最大状态下，建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量 ${\mathbf{n}}_1,{\mathbf{n}}_2$，利用公式 $\cos \theta =\frac{|{\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2|}{|{\mathbf{n}}_1||{\mathbf{n}}_2|}$ 求解。

✅【答案】

点击查看答案

① 求 $AB$ 使体积最大；$AB=\frac{\sqrt{6}}{3}$；② 求二面角余弦值；$\frac{\sqrt{10}}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明： 在矩形 $ABCD$ 中，$AB\perp AD$。 又平面 $PAD\perp$ 平面 $ABCD$，且平面 $PAD\cap$ 平面 $ABCD=AD$。 根据面面垂直的性质定理，若一条直线垂直于交线，则该直线垂直于另一个平面。 因为 $AB\subset$ 平面 $ABCD$，且 $AB\perp AD$， 所以 $AB\perp$ 平面 $PAD$。 又 $PD\subset$ 平面 $PAD$， 故 $AB\perp PD$。

(2) 解： ① 求 $AB$ 使体积最大 在 $Rt△BPC$ 中，$PB=\sqrt{2},PC=2$，则 $BC=\sqrt{(\sqrt{2}{)}^2+2^2}=\sqrt{6}$。 过 $P$ 作 $PO\perp AD$ 于 $O$，过 $O$ 作 $OG\perp BC$ 于 $G$，连接 $PG$。 由题意知 $PO\perp$ 平面 $ABCD$。 由三垂线定理知 $PG\perp BC$。 在 $Rt△BPC$ 中，由面积相等得：$BC\cdot PG=PB\cdot PC⟹\sqrt{6}\cdot PG=\sqrt{2}\times 2$，得 $PG=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。 设 $AB=OG=m$ ($0<m<\frac{2\sqrt{3}}{3}$)， 在 $Rt△POG$ 中，$PO=\sqrt{P{G}^2-O{G}^2}=\sqrt{\frac{4}{3}-m^2}$。 四棱锥的体积 $V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot PO=\frac{1}{3}(m\cdot \sqrt{6})\cdot \sqrt{\frac{4}{3}-m^2}=\frac{\sqrt{6}}{3}\sqrt{m^2(\frac{4}{3}-m^2)}$。 由均值不等式，当 $m^2=\frac{4}{3}-m^2$，即 $m=\frac{\sqrt{6}}{3}$ 时，体积 $V$ 最大。 故当 $AB=\frac{\sqrt{6}}{3}$ 时，体积最大。

② 求二面角余弦值 当 $AB=\frac{\sqrt{6}}{3}$ 时，$PO=\frac{\sqrt{6}}{3}$。此时 $O$ 为 $AD$ 中点（通过对称性可得）。

建立空间直角坐标系（以 $O$ 为原点，$AD$ 方向为 $y$ 轴，$OG$ 方向为 $x$ 轴，$OP$ 方向为 $z$ 轴）。 相关点坐标：$P(0,0,\frac{\sqrt{6}}{3})$, $B(\frac{\sqrt{6}}{3},-\frac{\sqrt{6}}{2},0)$, $C(\frac{\sqrt{6}}{3},\frac{\sqrt{6}}{2},0)$, $D(0,\frac{\sqrt{6}}{2},0)$。

• 平面 $PBC$ 的法向量 ${\mathbf{n}}_1=(1,0,1)$。
• 平面 $DPC$ 的法向量 ${\mathbf{n}}_2=(0,1,\frac{\sqrt{6}}{3})$（此处坐标计算略，详见向量法）。

经计算，此时平面 $PBC$ 与平面 $DPC$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：面面垂直的性质定理、棱锥体积最值与二面角的求解。

2. 核心方法：面面垂直→线面垂直→线线垂直的转化，建系时以高线垂足为原点。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 二面角的范围、法向量夹角与二面角的关系。

2. 结论推广: 若侧面与底面垂直，则侧面上的高即为几何体的高。

3. 方法推广: 面对“动点”或“动边长”的最值问题，函数建模是首选。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.05 几何法求空间角专题
• 21.02 空间向量与线面位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2013-江西卷理-19 解-线面垂直判定
• 2013-辽宁卷理-18 解-直线与平面垂直判定
• 2013-湖北卷理-19 解-直线与平面平行、垂直判定