2014-江西卷理-22 解-离散型随机变量

本题导读

本题是整卷的压轴大题，考查随机变量的分布、期望计算以及概率的大小比较。第一问考查基础概率模型；第二问需要对分组规律进行深度抽象，建立组合数模型；第三问则要求运用数学归纳法证明不等式，对逻辑严密性和代数运算能力有极高要求。

📌【题干】

Question

（2014年江西卷(理)） 随机将 $1,2,\dots ,2n(n\in N^{\ast },n\ge 2)$ 这 $2n$ 个连续正整数分成 $A,B$ 两组，每组 $n$ 个数.$A$ 组最小数为 $a_1$，最大数为 $a_2$；$B$组最小数为 $b_1$，最大数为 $b_2$.记 $\xi =a_2-a_1,\eta =b_2-b_1$.

(1) 当 $n=3$ 时，求 $\xi$ 的分布列和数学期望；

(2) 令 $C$ 表示事件 $\xi$ 与 $\eta$ 的取值恰好相等，求事件 $C$ 发生的概率 $P(C)$；

(3) 对(2)中的事件 $C$，$\bar{C}$ 表示 $C$ 的对立事件，判断 $P(C)$ 和 $P(\bar{C})$ 的大小关系，并说明理由.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：$n=3$ 时总数 6，选 3 个数进 $A$ 组共有 $C_6^3=20$ 种情况。枚举 $a_2-a_1$ 的可能取值（2, 3, 4, 5），计算每种情况下的组合数。
2. 第二问：$\xi =\eta$ 的本质是 $A$ 组和 $B$ 组的最大值与最小值之差相等。通过分类讨论 $a_1,a_2,b_1,b_2$ 的相对位置，寻找对称性。
   • 当 $n=2$ 时，手动枚举。
   • 当 $n\ge 3$ 时，利用组合规律：若 $\xi =\eta =n-1+k$，则分组方法数为 $2C_{2k}^k$（此处需对“跨度”进行模型抽象）。
3. 第三问：比较 $P(C)$ 与 $0.5$ 的大小。利用第二问求得的通项式，通过数学归纳法证明在 $n\ge 3$ 时，$P(C)<0.5$，即 $P(C)<P(\bar{C})$。

✅【答案】

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$P(C)=\frac{2(2+{\sum }_{k=1}^{n-2}{C}_{2k}^k)}{C_{2n}^n}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 解： 当 $n=3$ 时，从 6 个数中任取 3 个入 $A$ 组，共有 $C_6^3=20$ 种。 $\xi =a_2-a_1$ 的取值范围为 $\{2,3,4,5\}$。

• $\xi =2$：$(a_1,a_2)$ 可为 $(1,3),(2,4),(3,5),(4,6)$。中间必选 1 个数。共 $4\times 1=4$ 种。$P(\xi =2)=\frac{4}{20}=\frac{1}{5}$。
• $\xi =3$：$(a_1,a_2)$ 可为 $(1,4),(2,5),(3,6)$。中间选 1 个数（2 选 1）。共 $3\times 2=6$ 种。$P(\xi =3)=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$。
• $\xi =4$：$(a_1,a_2)$ 可为 $(1,5),(2,6)$。中间选 1 个数（3 选 1）。共 $2\times 3=6$ 种。$P(\xi =4)=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$。
• $\xi =5$：$(a_1,a_2)$ 必为 $(1,6)$。中间选 1 个数（4 选 1）。共 $1\times 4=4$ 种。$P(\xi =5)=\frac{4}{20}=\frac{1}{5}$。

分布列如下：

$\xi$	$2$	$3$	$4$	$5$
$P$	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{5}$

期望 $E\xi =2\times \frac{1}{5}+3\times \frac{3}{10}+4\times \frac{3}{10}+5\times \frac{1}{5}=\frac{4+9+12+10}{10}=3.5$。

(2) 解： 通过归纳规律可知，$\xi$ 和 $\eta$ 相等的所有可能值为 $n-1,n,\dots ,2n-2$。 经组合分析： 当 $n=2$ 时，$P(C)=\frac{4}{C_4^2}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。 当 $n\ge 3$ 时，满足条件的样本数为 $2(2+{\sum }_{k=1}^{n-2}{C}_{2k}^k)$。 故 $P(C)=\frac{2(2+{\sum }_{k=1}^{n-2}{C}_{2k}^k)}{C_{2n}^n}$。

(3) 解： 结论：当 $n=2$ 时，$P(C)>P(\bar{C})$；当 $n\ge 3$ 时，$P(C)<P(\bar{C})$。

证明（针对 $n\ge 3$）： 即证 $P(C)<\frac{1}{2}$，等价于 $4(2+{\sum }_{k=1}^{n-2}{C}_{2k}^k)<C_{2n}^n$ ①。

1. 当 $n=3$ 时，左边 $=4(2+C_2^1)=16$，右边 $=C_6^3=20$，成立。
2. 假设 $n=m$ ($m\ge 3$) 时 ① 成立。
3. 当 $n=m+1$ 时，左边 $=4(2+{\sum }_{k=1}^{m-2}{C}_{2k}^k+C_{2m-2}^{m-1})<C_{2m}^m+4C_{2m-2}^{m-1}$。 经代数变形：$C_{2m}^m+4C_{2m-2}^{m-1}=C_{2m}^m+4\frac{(2m-2)!}{(m-1)!(m-1)!}=C_{2m}^m+\frac{m}{2m-1}{C}_{2m}^m=\frac{3m-1}{2m-1}{C}_{2m}^m$。 通过阶乘比值计算可知，上述结果小于 $C_{2m+2}^{m+1}$（即右边）。 故 $n=m+1$ 时成立。 综上，$n\ge 3$ 时，$P(C)<P(\bar{C})$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：离散型随机变量的分布列与期望、组合计数与数学归纳法。

2. 核心方法：由特殊到一般，先枚举建模，再用数学归纳法处理组合数放缩。

3. 避坑指南：注意 $n=2$ 是一个特例，在得出结论时必须分类讨论。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 超几何分布、期望的线性性质、Stirling 公式（用于大 $n$ 下的近似估计）。

2. 结论推广: 此类问题属于“统计顺序量”的范畴，最大值与最小值的差称为极差（Range）。

3. 方法推广: 复杂的组合数不等式证明，常用数学归纳法配合组合数性质 $C_n^k=C_{n-1}^k+C_{n-1}^{k-1}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合
• 23.03 离散型随机变量及其数字特征
• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2013-广东卷理-04 单-离散型随机变量的数学期望