2014-浙江卷文-11 填-复数运算

本题导读

$(1+i{)}^2=2i$，再分子分母同乘 $-i$，得 $\frac{-1-i}{2}$。

📌【题干】

Question

（2014年浙江卷(文)） 已知 $i$ 是虚数单位，计算 $\frac{1-i}{(1+i{)}^2}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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$(1+i{)}^2=2i$，再分子分母同乘 $-i$，得 $\frac{-1-i}{2}$。

✅【答案】

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$-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$

✍【详细解析】

Abstract

$(1+i{)}^2=1+2i+i^2=2i$。

原式 $=\frac{1-i}{2i}=\frac{(1-i)(-i)}{2i\cdot (-i)}=\frac{-i+i^2}{2}=\frac{-1-i}{2}=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数代数运算（除法）

2. 核心方法：先算分母 $(1+i{)}^2=2i$，再乘 $\frac{-i}{-i}$ 实数化

3. 避坑指南：$(1+i{)}^2=2i$ 是高频结论，直接使用可省一步；除法必须实数化，不能”分母约分”。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 复数四则运算常规题，与历年各卷复数首题同族。

2. 结论推广: $(1\pm i{)}^2=\pm 2i$、$\frac{1}{i}=-i$ 等结论熟记后，复数小题可半口算完成。

3. 方法推广: 复数除法固定套路：分母平方展开（或共轭相乘）→ 分子展开 → 整理为 $a+bi$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1984-全国卷理-16
• 1989-全国卷理-07 单-复数与共轭的模