2014-浙江卷文-15 填-分段函数复合

本题导读

$a>0$ 时 $f(a)=-a^2<0$，$f(f(a))=a^4-2a^2+2=2$，解得 $a=\sqrt{2}$。

📌【题干】

Question

（2014年浙江卷(文)） 设函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+2x+2,& x\le 0,\\ -x^2,& x>0.\end{array}$ 若 $f(f(a))=2$，则 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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$a>0$ 时 $f(a)=-a^2<0$，$f(f(a))=a^4-2a^2+2=2$，解得 $a=\sqrt{2}$。

✅【答案】

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$\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

按 $a$ 的符号分类：

若 $a\le 0$：$f(a)=a^2+2a+2=(a+1{)}^2+1>0$，于是 $f(f(a))=-(f(a){)}^2<0\ne 2$，舍去。

若 $a>0$：$f(a)=-a^2<0$，代入外层（$x\le 0$ 段）：

$f(f(a))=(-a^2{)}^2+2(-a^2)+2=a^4-2a^2+2$。

令其等于 2：$a^4-2a^2=0$，$a^2(a^2-2)=0$。由 $a>0$ 得 $a^2=2$，即 $a=\sqrt{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分段函数的复合求值；分类讨论

2. 核心方法：“由内向外”按符号定分支

3. 避坑指南：内层函数值的符号决定外层走哪一段：$a\le 0$ 时 $f(a)$ 恒正、外层落到 $-x^2$ 段直接出负数，这条分支要显式排除，不能默认 $a>0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 分段函数复合求值题（2014 浙江理 15 同族），考查分支衔接处的符号判断。

2. 结论推广: 解 $f(f(a))=c$ 型问题，先设 $u=f(a)$ 解 $f(u)=c$ 得 $u$ 的可能值，再回解 $f(a)=u$，层层过滤定义域。

3. 方法推广: 分段复合函数：“定分支 → 解方程 → 回代检验”循环使用，每层都要核对自变量的取值范围。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2014-浙江卷理-15 填-分段函数
• 1977-北京理-11