2014-浙江卷理-15 填-分段函数

本题导读

本题考查分段函数背景下的复合不等式求解。解题核心在于将复合函数 $f(f(a))$ 看作两层嵌套，通过换元令 $t=f(a)$，先求出中间变量 $t$ 的取值范围，再结合分段函数的定义域反推实数 $a$ 的范围。

📌【题干】

Question

（2014年浙江卷(理)） 设函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+x,& x<0\\ -x^2,& x\ge 0\end{array}$.若 $f(f(a))\le 2$，则实数 $a$ 的取值范围是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 外层剥离：令 $f(a)=t$，原不等式变为 $f(t)\le 2$。
2. 求解中间变量 $t$：根据 $t$ 的正负，分两种情况讨论 $f(t)\le 2$。
   • 当 $t<0$ 时，$t^2+t\le 2$；
   • 当 $t\ge 0$ 时，$-t^2\le 2$。 合并求出 $t$（即 $f(a)$）的取值范围。
3. 内层还原：将 $t=f(a)$ 代回，针对 $a$ 的正负再次进行分类讨论，解出最终 $a$ 的取值范围。

✅【答案】

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$(-\infty ,\sqrt{2}]$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求 $f(t)\le 2$ 的解集 4. 当 $t<0$ 时： $t^2+t-2\le 0⟹(t+2)(t-1)\le 0⟹-2\le t\le 1$。 结合 $t<0$，得 $-2\le t<0$。 5. 当 $t\ge 0$ 时： $-t^2\le 2⟹t^2\ge -2$。 可知，对于所有 $t\ge 0$，该式恒成立。 综上所述，$f(t)\le 2$ 的解集为 $t\ge -2$，即 $f(a)\ge -2$。

第二步：求 $f(a)\ge -2$ 的解集

1. 当 $a<0$ 时： $a^2+a\ge -2⟹a^2+a+2\ge 0$。 由于判别式 $\Delta =1^2-4\times 2=-7<0$，且抛物线开口向上，故该不等式对所有 $a<0$ 恒成立。
2. 当 $a\ge 0$ 时： $-a^2\ge -2⟹a^2\le 2⟹-\sqrt{2}\le a\le \sqrt{2}$。 结合 $a\ge 0$，得 $0\le a\le \sqrt{2}$。

第三步：取并集 综合上述两种情况，$a$ 的取值范围为 $(-\infty ,0)\cup [0,\sqrt{2}]=(-\infty ,\sqrt{2}]$。

【答案】 $(-\infty ,\sqrt{2}]$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分段函数与复合不等式的求解

2. 核心方法：复合不等式从外向内拆解，分类讨论时时刻检查前提条件。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 函数的值域、不等式的恒成立问题、二次函数的性质。

2. 结论推广: 若分段函数具有单调性，可直接通过单调性法求解复合不等式。

3. 方法推广: 面对多层复合函数 $f(f(f(x)))$，继续采用换元剥离法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2015-陕西卷文-04 单-分段函数
• 2015-浙江卷文-12 填-分段函数
• 2015-新课标I卷文-10 单-分段函数