2014-浙江卷文-17 填-双曲线离心率

本题导读

由 $|PA|=|PB|$ 得 $PM\perp AB$，用中点坐标算 $k_{PM}$，与 $k_{AB}=\frac{1}{3}$ 垂直得 $a^2=4b^2$，$e=\frac{\sqrt{5}}{2}$。

📌【题干】

Question

（2014年浙江卷(文)） 设直线 $x-3y+m=0$（$m\ne 0$）与双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的两条渐近线分别交于点 $A$，$B$.若点 $P(m,0)$ 满足 $|PA|=|PB|$，则该双曲线的离心率是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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由 $|PA|=|PB|$ 得 $PM\perp AB$，用中点坐标算 $k_{PM}$，与 $k_{AB}=\frac{1}{3}$ 垂直得 $a^2=4b^2$，$e=\frac{\sqrt{5}}{2}$。

✅【答案】

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$\frac{\sqrt{5}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

渐近线 $y=\pm \frac{b}{a}x$ 与直线 $y=\frac{x+m}{3}$ 联立：

与 $y=\frac{b}{a}x$：$x-\frac{3b}{a}x+m=0$，解得 $A\left(\frac{am}{3b-a},\frac{bm}{3b-a}\right)$；

与 $y=-\frac{b}{a}x$：$x+\frac{3b}{a}x+m=0$，解得 $B\left(-\frac{am}{3b+a},\frac{bm}{3b+a}\right)$。

$AB$ 中点 $M$：$x_M=\frac{am}{2}\left(\frac{1}{3b-a}-\frac{1}{3b+a}\right)=\frac{a^{2}m}{9b^2-a^2}$，$y_M=\frac{3b^{2}m}{9b^2-a^2}$。

$|PA|=|PB|$ 即 $P$ 在 $AB$ 的垂直平分线上，故 $PM\perp AB$。$k_{AB}=\frac{1}{3}$（直线本身斜率），

$k_{PM}=\frac{0-y_M}{m-x_M}=\frac{-3b^2}{9b^2-2a^2}$。

由 $k_{AB}\cdot k_{PM}=-1$：$\frac{1}{3}\cdot \frac{-3b^2}{9b^2-2a^2}=-1$，得 $b^2=9b^2-2a^2$，即 $a^2=4b^2$。

所以 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直线与双曲线渐近线的交点；垂直平分线条件的代数化；离心率

2. 核心方法：“等距 → 垂直平分线 → 中点+斜率”三步代数化

3. 避坑指南：$|PA|=|PB|$ 不需要硬算两点距离平方，转化为 $P$ 在垂直平分线上（中点 $+$ 垂直）运算量骤减；$k_{AB}$ 直接读直线斜率 $\frac{1}{3}$，别用坐标重算。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 双曲线渐近线与离心率综合题（2014 浙江理 16 同题），“渐近线上的对称条件”是浙江卷的招牌考法。

2. 结论推广: 一般地，过定点且与两渐近线都相交的直线，若某点满足到两交点等距，可整体转化为中点与斜率的垂直方程，$m$ 往往在约分中消失，只留下 $a,b$ 的比。

3. 方法推广: 解析几何小题的通用减负术：距离相等 → 垂直平分线 → 中点公式与 $k_1{k}_2=-1$，全程避开根号。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2014-浙江卷理-16 填-渐近线
• 2014-新课标II卷理-20 解-椭圆定义