2014-浙江卷理-16 填-渐近线

本题导读

本题考查双曲线离心率的求解。通过直线与渐近线的交点构成等腰三角形这一几何条件，利用中点坐标公式及直线垂直的斜率关系，建立关于参数 $a,b$ 的等量关系，进而求出离心率 $e$。

📌【题干】

Question

（2014年浙江卷(理)） 设直线 $x-3y+m=0$ ($m\ne 0$) 与双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>0,b>0$) 两条渐近线分别交于点 $A,B$.若点 $P(m,0)$ 满足 $|PA|=|PB|$，则该双曲线的离心率是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 分析几何条件：$|PA|=|PB|$ 意味着点 $P$ 在线段 $AB$ 的垂直平分线上。由于 $A,B$ 都在直线 $l:x-3y+m=0$ 上，因此直线 $PQ$（$Q$ 为 $AB$ 中点）垂直于直线 $l$。
2. 联立方程求中点：双曲线渐近线方程为 $b^2{x}^2-a^2{y}^2=0$。将其与直线方程联立，求出 $A,B$ 的中点 $Q$ 的坐标（含 $a,b,m$）。
3. 利用垂直关系：直线 $l$ 的斜率 $k_l=\frac{1}{3}$，则直线 $PQ$ 的斜率 $k_{PQ}=-3$。
4. 建立 $a,b$ 关系：根据 $k_{PQ}=\frac{y_Q-0}{x_Q-m}=-3$ 得到关于 $a,b$ 的方程，化简求出 $b^2$ 与 $a^2$ 的比例，最后通过 $e^2=\frac{c^2}{a^2}=1+\frac{b^2}{a^2}$ 求得离心率。

✅【答案】

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$\frac{\sqrt{5}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定渐近线与直线的交点中点 双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x$，即 $b^2{x}^2-a^2{y}^2=0$。 设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，其点 $Q(x_0,y_0)$ 为 $AB$ 中点。 将 $x=3y-m$ 代入渐近线方程： $b^2(3y-m{)}^2-a^2{y}^2=0$ $(9b^2-a^2)y^2-6m{b}^{2}y+m^2{b}^2=0$ 根据韦达定理，中点纵坐标 $y_0=\frac{y_1+y_2}{2}=\frac{3m{b}^2}{9b^2-a^2}$。 代入直线方程得 $x_0=3y_0-m=\frac{9m{b}^2}{9b^2-a^2}-m=\frac{a^{2}m}{9b^2-a^2}$。 即 $Q\left(\frac{a^{2}m}{9b^2-a^2},\frac{3b^{2}m}{9b^2-a^2}\right)$。


第二步：利用垂直关系建立方程 因为 $|PA|=|PB|$，所以 $PQ\perp AB$。 已知直线 $AB$ 的斜率 $k_l=\frac{1}{3}$，所以 $k_{PQ}=\frac{y_0-0}{x_0-m}=-3$。 代入 $Q$ 点坐标： $\frac{\frac{3b^{2}m}{9b^2-a^2}}{\frac{a^{2}m}{9b^2-a^2}-m}=-3$ $\frac{3b^{2}m}{a^{2}m-m(9b^2-a^2)}=-3$ $\frac{3b^2}{2a^2-9b^2}=-3⟹3b^2=-6a^2+27b^2$ $24b^2=6a^2⟹a^2=4b^2$

第三步：计算离心率 由 $a^2=4b^2$ 得 $\frac{b^2}{a^2}=\frac{1}{4}$。 离心率 $e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{5}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$。

【答案】 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线渐近线方程的应用，离心率的定义式 $e^2=1+(\frac{b}{a}{)}^2$。

2. 核心方法：“几何问题代数化”。利用垂直平分线的性质转化斜率关系是解题捷径。

3. 避坑指南：联立方程时注意 $m$ 作为非零常数可以约去；中点坐标计算量较大，需保持细心。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 双曲线的焦半径公式、等轴双曲线的特性。

2. 结论推广: 若直线斜率为 $k$，则 $|PA|=|PB|$ 对应的 $k_{PQ}=-1/k$。

3. 方法推广: 处理等腰三角形问题，优先考虑底边上的高（垂直平分线）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2013-江苏卷-03 填-渐近线
• 2015-湖南卷文-06 单-双曲线渐近线
• 2015-天津卷文-05 单-双曲线渐近线