2014-湖北卷文-04 单-线性规划

本题导读

画出可行域，找顶点代入 $z=2x+y$。

📌【题干】

Question

（2014年湖北卷(文)） 若变量 $x$，$y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x+y⩽4,\\ x-y⩽2,\\ x⩾0,y⩾0,\end{array}$ 则 $2x+y$ 的最大值是()

A. $2$　　　　　　　B. $4$　　　　　　　C. $7$　　　　　　　D. $8$

🔍【思路分析】

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可行域顶点 $(0,0)$、$(2,0)$、$(3,1)$、$(0,4)$，逐一代入取最大。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

$x-y=2$ 与 $x+y=4$ 联立得交点 $(3,1)$；$(4,0)$ 使 $x-y=4>2$ 不可行。可行域顶点：$(0,0)$，$(2,0)$，$(3,1)$，$(0,4)$。代入 $z=2x+y$：$0$，$4$，$7$，$4$，故最大值为 $7$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线性规划求最值

2. 核心方法：画可行域、顶点代入

3. 避坑指南：顶点要先解联立方程求准，本题 $x+y=4$ 与 $x-y=2$ 交于 $(3,1)$；注意 $(4,0)$ 不满足 $x-y⩽2$，不是可行点，直接代入会误选 8。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 二元一次不等式组表示的平面区域与目标函数最值。

2. 结论推广: 目标函数 $z=2x+y$ 的等值线族 $2x+y=c$ 沿法向量 $(2,1)$ 方向增大，最值在可行域顶点处取得。

3. 方法推广: 整点问题、含绝对值的可行域都可用「顶点代入 + 边界检验」处理；参数型目标函数可反解截距看斜率范围。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2014-湖北卷理-07 单-平面区域的表示
• 2014-安徽卷理-05 单-线性规划