2014-湖北卷理-07 单-平面区域的表示

本题导读

本题考查线性不等式组确定的平面区域及其面积计算，结合几何概型考查概率求解。关键在于准确绘制不等式组表示的区域并计算重叠部分的面积。

📌【题干】

Question

（2014年湖北卷(理)） 由不等式 $\{\begin{array}{l}x\le 0\\ y\ge 0\\ y-x-2\le 0\end{array}$ 确定的平面区域记为 ${\Omega }_1$，不等式 $\{\begin{array}{l}x+y\le 1\\ x+y\ge -2\end{array}$ 确定的平面区域记为 ${\Omega }_2$.在 ${\Omega }_1$ 中随机取一点，则该点恰好在 ${\Omega }_2$ 内的概率为()

A. $\frac{1}{8}$　　　　　　　B. $\frac{1}{4}$　　　　　　　C. $\frac{3}{4}$　　　　　　　D. $\frac{7}{8}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 绘制区域 ${\Omega }_1$：该区域是由 $y$ 轴（$x=0$）、$x$ 轴（$y=0$）以及直线 $y=x+2$ 围成的直角三角形。
2. 绘制区域 ${\Omega }_2$：该区域是两条平行直线 $y=-x+1$ 与 $y=-x-2$ 之间的带状区域。
3. 寻找重叠部分：计算 ${\Omega }_1\cap {\Omega }_2$ 的区域。在本题中，由于 ${\Omega }_1$ 位于第二象限，只需观察 ${\Omega }_2$ 的边界 $x+y=1$ 如何分割 ${\Omega }_1$。
4. 计算面积并求概率：利用几何概型公式 $P=\frac{S_{{\Omega }_1\cap {\Omega }_2}}{S_{{\Omega }_1}}$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：计算 ${\Omega }_1$ 的面积 ${\Omega }_1$ 的边界直线为 $x=0,y=0,y=x+2$。 三个顶点分别为 $O(0,0),A(0,2),B(-2,0)$。 这是一个直角边长均为 2 的等腰直角三角形。 $S_{{\Omega }_1}=\frac{1}{2}\times 2\times 2=2$

第二步：分析 ${\Omega }_2$ 对 ${\Omega }_1$ 的覆盖情况 区域 ${\Omega }_2$ 满足 $-2\le x+y\le 1$。 观察 ${\Omega }_1$ 中的点是否满足该条件：

• 对于 ${\Omega }_1$ 的所有点，由于 $x\le 0$ 且 $y\ge 0$ 且 $y\le x+2$，得 $x+y\le x+(x+2)=2x+2$。
• 实际上，${\Omega }_1$ 中只有靠近顶点 $A(0,2)$ 的一小部分不满足 $x+y\le 1$。
• 直线 $x+y=1$ 与 ${\Omega }_1$ 的边界交点：
  • 与 $y$ 轴（$x=0$）交于 $C(0,1)$；
  • 与直线 $y=x+2$ 交于 $D(-\frac{1}{2},\frac{3}{2})$。
• 落在 ${\Omega }_2$ 之外的部分是小三角形 $△ACD$。


第三步：计算重叠区域面积 小三角形 $△ACD$ 的面积： 其底边为 $AC=2-1=1$，高为点 $D$ 到 $y$ 轴的距离 $|x_D|=\frac{1}{2}$。 $S_{△ACD}=\frac{1}{2}\times 1\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$ 则 ${\Omega }_1$ 落在 ${\Omega }_2$ 内的面积为： $S_{重叠}=S_{{\Omega }_1}-S_{△ACD}=2-\frac{1}{4}=\frac{7}{4}$

第四步：计算概率 $P=\frac{S_{重叠}}{S_{{\Omega }_1}}=\frac{7/4}{2}=\frac{7}{8}$

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：不等式组平面区域与几何概型面积

2. 核心方法：求 ${\Omega }_1$ 面积，减去落在 ${\Omega }_2$ 外的小三角形面积求重叠面积，再求概率

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 线性规划平面区域与几何概型

2. 结论推广: 几何概型概率＝重叠区域面积÷${\Omega }_1$ 面积。

3. 方法推广: 可迁移到平面区域面积与几何概型求概率类题

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷理-02 单-集合的表示
• 2013-大纲卷理-01 单-集合的表示
• 2013-大纲卷文-16 填-球的表面积