2014-湖北卷文-10 单-圆锥体积

本题导读

写出精确体积 $V=\frac{L^{2}h}{12\pi }$，与两个近似系数分别比对。

📌【题干】

Question

（2014年湖北卷(文)） 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长 $L$ 与高 $h$，计算其体积 $V$ 的近似公式 $V\approx \frac{1}{36}{L}^{2}h$.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 $\pi$ 近似取为 $3$.那么，近似公式 $V\approx \frac{2}{75}{L}^{2}h$ 相当于将圆锥体积公式中的 $\pi$ 近似取为()

A. $\frac{22}{7}$　　　　　B. $\frac{25}{8}$　　　　　C. $\frac{157}{50}$　　　　　D. $\frac{355}{113}$

🔍【思路分析】

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精确式 $V=\frac{L^{2}h}{12\pi }$；令 $\frac{1}{12\pi }=\frac{2}{75}$ 解出 $\pi$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

设底面半径 $r$，则 $L=2\pi r$，$V=\frac{\pi r^{2}h}{3}=\frac{\pi h}{3}\cdot \frac{L^2}{4{\pi }^2}=\frac{L^{2}h}{12\pi }$。验证背景：取 $\pi \approx 3$ 得 $\frac{1}{12\pi }\approx \frac{1}{36}$，与题设吻合。同理令 $\frac{1}{12\pi }=\frac{2}{75}$，解得 $\pi =\frac{75}{24}=\frac{25}{8}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆锥体积与数学文化

2. 核心方法：用体积公式反推 $\pi$ 的近似值

3. 避坑指南：关键是用 $L=2\pi r$ 把「底面周长」换算成半径：$V=\frac{\pi r^{2}h}{3}=\frac{L^{2}h}{12\pi }$，近似系数与 $\frac{1}{12\pi }$ 对应，直接比较系数即可，不必纠结「术」的古文表述。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 《算数书》圆锥体积近似公式的文化背景题。

2. 结论推广: 圆锥体积的精确表达 $V=\frac{L^{2}h}{12\pi }$ 是连接「周长—半径—体积」的桥梁。

3. 方法推广: 数学文化题的通用套路：剥离背景、翻译成公式、比较系数；近年高考常以古籍为载体考查基本量运算。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2014-湖北卷理-08 单-体积公式
• 2015-上海卷理-6