2014-上海卷文-08 填-圆锥轴截面角

本题导读

考查圆锥的基本量。侧面积与底面积之比给出母线与半径之比，再用轴截面中的直角三角形把角算出来。

📌【题干】

Question

（2014年上海卷(文)） 若圆锥的侧面积是底面积的 3 倍，则其母线与轴所成角的大小为 $\underline{}$.（结果用反三角函数值表示）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设底面半径 $r$、母线 $l$：$\pi rl=3\pi r^2$，得 $l=3r$。
2. 母线、轴、底面半径构成直角三角形，母线为斜边。
3. 设所成角为 $\theta$，则 $\sin \theta =\frac{r}{l}=\frac{1}{3}$。

✅【答案】

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$\arcsin \frac{1}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

设底面半径为 $r$，母线长为 $l$，则

$S_{\text{侧}}=\pi rl,S_{\text{底}}=\pi r^2.$

由 $\pi rl=3\pi r^2$ 得 $l=3r$.

母线、高（轴）与底面半径构成直角三角形，母线与轴所成角 $\theta$ 的对边为 $r$、斜边为 $l$，故

$\sin \theta =\frac{r}{l}=\frac{1}{3},\theta =\arcsin \frac{1}{3}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆锥的侧面积公式；母线与轴所成的角；反三角函数表示角。

2. 核心方法：“面积比 → 边长比 → 直角三角形解角”，三步都是基本量换算。

3. 避坑指南：母线是斜边，$\sin \theta =\frac{r}{l}$ 的分子是 $r$ 不是 $l$；上海卷要求用反三角表示，写成 $\arcsin \frac{1}{3}$ 而不是近似角度。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 旋转体的基本量换算上海卷考查频率高，常与展开图、最值结合。

2. 结论推广: 若侧面积是底面积的 $k$ 倍，则 $l=kr$，所成角为 $\arcsin \frac{1}{k}$。

3. 方法推广: “旋转体一切角与长的问题，回到轴截面直角三角形”是通用解法。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2014-湖北卷文-10 单-圆锥体积
• 2015-新课标I卷文-06 单-圆锥体积