2014-湖北卷文-18 解-三角最值

本题导读

(1) 相位 $\frac{\pi t}{12}$ 在 $t=8$ 时为 $\frac{2\pi }{3}$，代入求值；(2) 用辅助角公式合并后求 $f(t)$ 的取值范围。

📌【题干】

Question

（2014年湖北卷(文)） 某实验室一天的温度（单位：℃）随时间 $t$（单位：h）的变化近似满足函数关系：$f(t)=10-\sqrt{3}\cos \frac{\pi }{12}t-\sin \frac{\pi }{12}t$，$t\in [0,24)$.

(1) 求实验室这一天上午 8 时的温度；

(2) 求实验室这一天的最大温差.

🔍【思路分析】

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合并 $\sqrt{3}\cos u+\sin u=2\cos \left(u-\frac{\pi }{6}\right)$。

✅【答案】

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(1) $10℃$；(2) $4℃$

✍【详细解析】

Abstract

(1) $t=8$ 时，$\frac{\pi t}{12}=\frac{2\pi }{3}$，$f(8)=10-\sqrt{3}\cos \frac{2\pi }{3}-\sin \frac{2\pi }{3}=10-\sqrt{3}\times \left(-\frac{1}{2}\right)-\frac{\sqrt{3}}{2}=10$，即上午 8 时的温度为 $10℃$。 (2) 令 $u=\frac{\pi t}{12}\in [0,2\pi )$，则 $\sqrt{3}\cos u+\sin u=2\cos \left(u-\frac{\pi }{6}\right)$，故 $f(t)=10-2\cos \left(u-\frac{\pi }{6}\right)$。由 $u$ 取遍 $[0,2\pi )$，得 $8⩽f(t)⩽12$，最大温差为 $12-8=4℃$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角恒等变换与最值

2. 核心方法：辅助角公式合并后整体求值

3. 避坑指南：$\sqrt{3}\cos u+\sin u=2\cos \left(u-\frac{\pi }{6}\right)$ 的相位是「对齐 $\cos$ 后减 $\frac{\pi }{6}$」；$u=\frac{\pi t}{12}\in [0,2\pi )$ 恰好走满一个周期，端点值都能取到，温差为 $4$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 正弦型函数的应用（气温模型）。

2. 结论推广: $a\cos u+b\sin u=\sqrt{a^2+b^2}\cos (u-\phi )$，其中 $\tan \phi =\frac{b}{a}$。

3. 方法推广: 实际背景中的最值问题先确认自变量范围能否取到完整周期；求特定时刻值时把相位角整体代入。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2014-湖北卷理-17 解-辅助角公式
• 2014-新课标I卷理-16 填-正弦定理