2014-湖北卷文-20 解-线面关系

本题导读

建系写出各点坐标，用平面的法向量（或平面方程）证明平行与垂直。

📌【题干】

Question

（2014年湖北卷(文)） 如图，在正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$E$、$F$、$P$、$Q$、$M$、$N$ 分别是棱 $AB$，$AD$，$D{D}_1$，$B{B}_1$，$A_1{B}_1$，$A_1{D}_1$ 的中点.求证：

(1) 直线 $B{C}_1\parallel$ 平面 $EFPQ$；

(2) 直线 $A{C}_1\perp$ 平面 $PQMN$.


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取 $A$ 为原点建系，求两平面的法向量，与直线的方向向量比对。

✅【答案】

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证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

设棱长为 $a$，以 $A$ 为原点、$AB,AD,A{A}_1$ 为 $x,y,z$ 轴建系，则 $E\left(\frac{a}{2},0,0\right)$，$F\left(0,\frac{a}{2},0\right)$，$P\left(0,a,\frac{a}{2}\right)$，$Q\left(a,0,\frac{a}{2}\right)$，$M\left(\frac{a}{2},0,a\right)$，$N\left(0,\frac{a}{2},a\right)$，$C_1(a,a,a)$。 (1) $\overrightarrow{EF}=\left(-\frac{a}{2},\frac{a}{2},0\right)$，$\overrightarrow{EQ}=\left(\frac{a}{2},0,\frac{a}{2}\right)$，其叉积方向为 $(1,1,-1)$，即平面 $EFPQ$ 的方程为 $x+y-z=\frac{a}{2}$（代入 $E$ 验证成立）。$\overrightarrow{B{C}_1}=(0,a,a)$，$(1,1,-1)\cdot (0,a,a)=0$，且 $B(a,0,0)$ 代入平面左端得 $a\ne \frac{a}{2}$，即 $B\notin$ 平面 $EFPQ$，故 $B{C}_1\parallel$ 平面 $EFPQ$。 (2) $\overrightarrow{PQ}=(a,-a,0)$，$\overrightarrow{PN}=\left(0,-\frac{a}{2},\frac{a}{2}\right)$，其叉积方向为 $(1,1,1)$，即平面 $PQMN$ 的方程为 $x+y+z=\frac{3a}{2}$，法向量 $\vec{n}=(1,1,1)$。而 $\overrightarrow{A{C}_1}=(a,a,a)=a\vec{n}$ 与 $\vec{n}$ 平行，又直线 $A{C}_1$ 与该平面相交于 $\left(\frac{a}{2},\frac{a}{2},\frac{a}{2}\right)$，故 $A{C}_1\perp$ 平面 $PQMN$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面平行与线面垂直

2. 核心方法：建系用向量法证明

3. 避坑指南：取 $A$ 为原点、三棱为坐标轴，六个中点坐标全部是「分母 2」的形式；证明平行的关键是平面 $EFPQ$ 的方程 $x+y-z=\frac{a}{2}$ 与 $B\notin$ 平面，垂直的关键是 $PQMN$ 方程 $x+y+z=\frac{3a}{2}$ 的法向量 $(1,1,1)\parallel \overrightarrow{A{C}_1}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 正方体中点构造的线面位置关系证明。

2. 结论推广: 平面 $EFPQ$：$x+y-z=\frac{a}{2}$；平面 $PQMN$：$x+y+z=\frac{3a}{2}$；$\overrightarrow{B{C}_1}=(0,a,a)$，$\overrightarrow{A{C}_1}=(a,a,a)$。

3. 方法推广: 几何法同样可行：$EF\parallel B{D}_1\parallel B{C}_1$ 证平行；$A{C}_1\perp$ 面 $PQMN$ 可由 $PQ\perp A{C}_1$、$PN\perp A{C}_1$（三垂线/计算）证得。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.06 正方体的性质

类题演练 (Links)

• 2014-湖北卷理-19 解-线面平行
• 2014-新课标I卷理-19 解-线面垂直