13.06 正方体的性质

🟦 正方体的性质

一. 正方体的性质

1. $B{D}_1\perp$ 平面 $A_1{C}_{1}D$，$B{D}_1\perp$ 平面 $AC{B}_1$。

2. $F$ 为平面 $A_1{C}_{1}D$ 的中心，$E$ 为平面 $AC{B}_1$ 的中心。

3. $E,F$ 为 $B{D}_1$ 的三等分点。

4. 平面 $A_1{C}_{1}D\parallel$ 平面 $AC{B}_1$。

二. 正方体截面

（1）可截出的图形 正方体的截面可以是以下图形： 三角形：任意三角形、正三角形 - 四边形：梯形、平行四边形、正方形、菱形、矩形 - 五边形：任意五边形 - 六边形：任意六边形、正六边形

（2）不可截出的图形 正方体的截面不会出现以下图形： 直角三角形、钝角三角形 - 直角梯形 - 正五边形

（3）作截面方法

1. 作平行：通过作与正方体棱平行的平面来确定截面。

2. 作相交：通过作与正方体棱相交的平面来确定截面。

三. 正方体外接球、内切球与棱切球

棱长为 $a$ 的正方体：内切球半径 $R=\frac{a}{2}$，外接球半径 $R=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，棱切球半径：$R=\frac{\sqrt{2}}{2}a$.