2014-湖南卷文-04 单-函数性质

本题导读

先判断偶函数，再判断在 $(-\infty ,0)$ 上的单调性。

📌【题干】

Question

（2014年湖南卷(文)） 下列函数中，既是偶函数又在区间 $(-\infty ,0)$ 上单调递增的是()

A. $f(x)=\frac{1}{x^2}$　　　B. $f(x)=x^2+1$　　　C. $f(x)=x^3$　　　D. $f(x)=2^{-x}$

🔍【思路分析】

破题导航

（B）、（C）在 $(-\infty ,0)$ 上递减，（D）不是偶函数。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

（A）定义域关于原点对称，$f(-x)=\frac{1}{(-x{)}^2}=\frac{1}{x^2}=f(x)$ 为偶函数；在 $(-\infty ,0)$ 上 $x^2$ 递减，$f(x)=\frac{1}{x^2}$ 递增，符合。（B）为偶函数但在 $(-\infty ,0)$ 上递减；（C）为奇函数；（D）$f(-x)=2^x\ne f(x)$，不是偶函数。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数的奇偶性与单调性

2. 核心方法：先看奇偶性筛掉一半，再看单调性

3. 避坑指南：$(-\infty ,0)$ 上的单调性要通过对称性转化：偶函数在 $(-\infty ,0)$ 递增 $⟺$ 在 $(0,+\infty )$ 递减；$f(x)=x^2+1$ 在 $(0,+\infty )$ 递增，故在 $(-\infty ,0)$ 递减，是常见误选项。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 奇偶性与单调性的综合辨析。

2. 结论推广: $f(x)=\frac{1}{x^2}$ 为偶函数，在 $(0,+\infty )$ 递减、在 $(-\infty ,0)$ 递增。

3. 方法推广: 含参分段函数的奇偶性判断先验定义域是否关于原点对称；对称区间单调性可用「偶函数同增同减、奇函数增减一致」快速判定。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2014-湖南卷理-03 单-函数奇偶性
• 2014-新课标I卷理-03 单-函数奇偶性