2017-天津卷文-06 单-函数性质

本题导读

考查抽象函数的奇偶性与单调性的综合应用，以及利用对数性质进行数的大小比较。

📌【题干】

Question

（2017年天津卷(文)） 已知奇函数 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上是增函数. 若 $a=-f\left({\log }_2\frac{1}{5}\right)$，$b=f({\log }_{2}4.1)$，$c=f(2^{0.8})$，则 $a,b,c$ 的大小关系为 ()

A. $a<b<c$　　B. $b<a<c$　　C. $c<b<a$　　D. $c<a<b$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用奇函数的性质 $f(-x)=-f(x)$，将 $a$ 的负号吸收到自变量内部，化为 $f\left({\log }_{2}5\right)$。
2. 分别化简三个数的自变量：${\log }_2\frac{1}{5}=-{\log }_{2}5$，故 $a=f({\log }_{2}5)$；$b=f({\log }_{2}4.1)$；$c=f(2^{0.8})$。
3. 比较各个对数与指数自变量的大小，再结合 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上的单调递增性得出函数值的大小关系。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

因为 $f(x)$ 是 $\mathbf{R}$ 上的奇函数，所以 $-f(x)=f(-x)$。 对于 $a=-f\left({\log }_2\frac{1}{5}\right)=-f(-{\log }_{2}5)=f({\log }_{2}5)$。 已知 $b=f({\log }_{2}4.1)$。 对于 $c=f(2^{0.8})$，因为 $0.8=\frac{4}{5}$，而 $2^{0.8}=2^{\frac{4}{5}}=\sqrt[5]{16}$； 另一边，${\log }_{2}5=\frac{\ln 5}{\ln 2}\approx \frac{1.609}{0.693}\approx 2.32$；${\log }_{2}4.1\approx 2.03$。 比较自变量的大小： ${\log }_{2}4.1<{\log }_{2}5$， 而 $2^{0.8}$ 的值约为 $1.74$ 左右，显然小于 ${\log }_{2}4.1$（因为 ${\log }_{2}4.1>{\log }_{2}4=2$，而 $2^{0.8}<2^1=2$，即 $2^{0.8}<2<{\log }_{2}4.1$）。 准确排序自变量： $2^{0.8}<{\log }_{2}4.1<{\log }_{2}5$。 因为 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上是增函数，自变量越大，函数值越大， 所以 $f(2^{0.8})<f({\log }_{2}4.1)<f({\log }_{2}5)$， 即 $c<b<a$。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数奇偶性化简、单调性比较大小。
2. 核心方法：奇函数图像变换 $f(-x)=-f(x)$ 与自变量估算法。
3. 避坑指南：注意负号处理，先利用奇偶性将负号移入自变量内部，再统一通过单调性比较大小。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考函数性质综合比较大小经典题。
2. 结论推广: 比较函数值大小时，首要任务是利用奇偶性或周期性将函数符号统一，再比较自变量大小。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2014-湖南卷文-04 单-函数性质
• 2015-新课标II卷文-12 单-函数性质
• 2019-江苏卷-14 填-函数性质