2014-湖南卷文-08 单-内切球

本题导读

由三视图还原出直三棱柱，最大球半径取底面内切圆半径与柱高一半的较小值。

📌【题干】

Question

（2014年湖南卷(文)） 一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于() 

A. $1$　　　　　　　B. $2$　　　　　　　C. $3$　　　　　　　D. $4$

🔍【思路分析】

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还原得底面为直角三角形的直三棱柱。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由三视图知该几何体是直三棱柱，底面为直角三角形，两直角边长分别为 $6$、$8$，斜边长 $10$，柱高 $12$。能加工成的最大球与底面三条边及各侧面、上下底面均相切，半径等于底面三角形的内切圆半径：$r=\frac{6+8-10}{2}=2$。又柱高的一半为 $6>2$，故半径 $2$ 可以实现，最大球半径为 $2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三视图还原与内切球

2. 核心方法：由三视图还原几何体、球受最小尺寸约束

3. 避坑指南：最大球半径由几何体「最窄方向」决定：该直三棱柱底面是直角三角形（直角边 $6$、$8$），球与三个侧面、底面、顶面都相切，半径等于底面内切圆半径 $\frac{6+8-10}{2}=2$，须与柱高的一半 $6$ 比较取小。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 三视图还原几何体与内切球半径。

2. 结论推广: 直角三角形内切圆半径 $r=\frac{a+b-c}{2}$；直棱柱内切球半径不超过柱高的一半。

3. 方法推广: 「加工成球」类问题先还原几何体，再找各方向的限制尺寸，取最小值即为最大球半径。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练 (Links)

• 2014-湖南卷理-07 单-三视图还原几何体
• 2014-新课标I卷理-12 单-三视图还原几何体